高等数学中值定理.

高等数学中值定理.Tag内容描述：<p>1、,第五讲(一元微分学之二) 微分中值定理 及其应用,方法指导 1. 微分中值定理的理解及它们之间的关系,第二章第二节 微分中值定理,罗尔定理,柯西中值定理,(1) 几个中值定理的关系,(2) 证明中值定理的方法,辅助函数法,直观分析,逆向分析,例如, 证明拉格朗日定理 :,要构造满足罗尔定理条件的辅助函数 .,方法1. 直观分析,由图可知 , 设辅助函数,(C 为任意常数 ),方法2. 逆向分析,要证,即证,原函数法,辅助函数,同样, 柯西中值定理要证,即证,原函数法,设,(3) 中值定理的条件是充分的, 但非必要.,可适当减弱. (如p85例13),因此,设,在,内可导,且,则。</p><p>2、,$3-1中值定理,2,一、罗尔(Rolle)定理,例如,$3-1中值定理,3,物理解释:,变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.,几何解释:,$3-1中值定理,4,证,$3-1中值定理,5,($1-4Th2),$3-1中值定理,6,注意(1)若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如,（有不可导点）,$3-1中值定理,7,又例如,(2)利用罗尔定理，可以证明方程,$3-1中值定理,8,例1,解,在（-1，2）与（2，5）内均可导，,且,至少存在一点,使,即方程,又,故,至多有两个实根，,因此，,分别位于区间,（-1，2）与（2，5）内.,(与习题3-1，5类似）,$3-1中值定理,9,例2,证,由零点。</p><p>3、3.1 中值定理,洛尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理,第三章 微分中值定理,引理 设函数 f (x)在a , b上有定义，并且在点 x0(a , b)取到最值， f (x)在点x0 可导，则 f (x0 )=0。,证: 设 f(x0)值最大,则,证毕,费马,一、罗尔(Rolle)定理 P128,几何解释:,A,B,罗尔(Rolle)定理 如果函数 f(x)满足：,（1）在闭区间a, b上连续；,（2）在开区间(a, b)内可导；,（3）在区间端点的函数值相等，即 f(a)= f(b),那么在(a, b) 内至少存在一点( ab),使得函数f(x)在该点的导数等于零，即： f ()= 0.,物理解释:,变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.,。</p><p>4、,0.1 函数的极值,问题：是不是所有的极值点都是驻点？,0.2费马定理,一、罗尔定理,几何解释:,证,注意:若罗尔定理的三个条件 i、 闭区间上连续； ii、 开区间内可导； iii、两端点函数值相等 是定理成立充分条件；,结论：存在导数为0的点,例1、设函数,在,上连续，在,内可导，且,证明：在,内至少存在一点,，使得,证明：,构造辅助函数,在,上连续，在,内可导，且,由罗尔定理，在,内至少存在一点,使得,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,几何解释:,分析:,弦AB方程为,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量。</p><p>5、引理 设函数 f (x)在a , b上有定义，并且在点 x0(a , b)取到最值， f (x)在点x0 可导，则 f (x0 )=0。,证: 设 f(x0)值最大,则,证毕,费马,一、罗尔(Rolle)定理 P128,几何解释:,A,B,罗尔(Rolle)定理 如果函数 f(x)满足：,（1）在闭区间a, b上连续；,（2）在开区间(a, b)内可导；,（3）在区间端点的函数值相等，即 f(a)= f(b),那么在(a, b) 内至少存在一点( ab),使得函数f(x)在该点的导数等于零，即： f ()= 0.,物理解释:,变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.,证明,故在 a , b 上取得最大值,M 和最小值 m .,若 M = m , 则,因此,若M m , 。</p><p>6、,第五讲(一元微分学之二)微分中值定理及其应用,方法指导1.微分中值定理的理解及它们之间的关系,第二章第二节微分中值定理,罗尔定理,柯西中值定理,(1)几个中值定理的关系,(2)证明中值定理的方法,辅助函数法,。</p>