阶常系数线性

阶常系数线性Tag内容描述：<p>1、10.3 二阶常系数线性差分方程,一、齐次方程的通解,二、非齐次方程的特解和通解,三、n 阶常系数线性差分方程,一、齐次方程的通解,二阶常系数线性差分方程的一般形式为,方程 的对应齐次方程为,代入方程后,有,特征方程的解称为特征根或特征值.,方程 称为方程 或 的特征方程,1. 特征方程有两个相异实根,方程 有两个相异实根,于是方程 有两个特解,根据二次代数方程 解的三种情况，可以仿照二阶常系数齐次线性微分方程，分别给出方程 的通解.,且由,从而得到方程 的通解,例1,解,特征方程为,解得两个相异实根,于是,所给方程的通解为,2. 特征方程有。</p><p>2、8.5 二阶常系数线性微分方程,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、二阶常系数齐次线性微分方程,二、二阶常系数非齐次线性微分方程,方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数 如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC1y1C2y2就是它的通解,一、二阶常系数齐次线性微分方程,二阶常系数齐次线性微分方程,考虑到当y、 y、 y为同类函数时 有可能使ypyqy恒等于零 而函数erx具有这种性质 所以猜想erx是方程的解 将yerx代入方程ypyqy0得 (r2prq)erx0 由此可见 只要r满足代数方程r2prq0 函数yerx就是微分方程。</p><p>3、8.3.5 二阶常系数非齐次线性微分方程,二阶常系数非齐次线性微分方程,一、 f(x) = Pm(x)elx 型,二、f(x)=elx Pl (x)cos w x +Pn(x)sin w x 型,特解形式,特解形式,二阶常系数非齐次线性微分方程,是形如 y+py+qy=f(x) 的方程，其中p、q 是常数,二阶常系数非齐次线性微分方程：,二阶常系数非齐次线性微分方程通解的结构：,设齐次方程 y+py+qy=0 的通解为yY(x)，非齐次方程 y+py+qy=f(x) 的一个特解为yy*(x)，则非齐次方程的通解为,yY(x) y*(x),一、 f(x) = Pm(x)elx 型,下面求方程 y+py+qy=Pm(x)elx， 的特解y* ，其中Pm(x)是m次多项式,可以猜。</p><p>4、课前练习： 的通解,在 连续，且满足 求f ( t ),答案：,2.知识点：1）二重积分（极坐标）；2）变上限求导；3）一阶线性方程求解；4）常数c的确定。,微分方程解题思路,一阶方程,分离变量法,齐次方程,公式法,常数变易法,10.5 二阶常系数线性微分方程,一、二阶常系数线性齐次方程,二、二阶常系数线性非齐次方程,10.5二阶常系数线性微分方程,标准形式,齐次线性方程的标准形式,非齐次线性方程的标准形式,一、二阶常系数线性齐次方程的通解,1.二阶齐次方程解的结构定理:,注意: 常数， 若 常数,证明时，应先证明y是解，然后说明是通解,定理也可描。</p><p>5、第3章 差分方程模型,3.2节 一阶线性常系数 差分方程及其应用,3.2.1 一阶线性常系数 齐次差分方程,3.2.1 一阶线性常系数 齐次差分方程,3.2.1 一阶线性常系数 齐次差分方程,3.2.1 一阶线性常系数 齐次差分方程,3.2.1 一阶线性常系数 齐次差分方程,图3.1,3.2.1 一阶线性常系数 齐次差分方程,3.2.2 一阶线性常系数 非齐次差分方程,3.2.2 一阶线性常系数 非齐次差分方程,3.2.3 濒危物种的自然演变 和人工孵化,3.2.3 濒危物种的自然演变 和人工孵化,3.2.3 濒危物种的自然演变 和人工孵化,3.2.3 濒危物种的自然演变 和人工孵化,图3.2,3.2.3 濒危。</p><p>6、7.7 内容回顾,非齐次方程的特解,对应齐次方程通解Y+,(高阶)线性非齐次方程的通解=,1.,线性齐次方程的解的线性组合=线性齐次方程的解,2.,3. n个函数在 I 上线性相关与,线性无关的概念.,线性无关,常数,是 n 阶线性齐次方程,的 n 个线性无关解,则方程的通解为,4.,分别是方程,的特解,是方程,的特解. (非齐次方程之解的叠加原理),以上关于解的结构均可推广到 n 阶线性非齐次方程.,是对应齐次方程的 n 个线性,无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,7.8 常系数齐次线性微分方。</p><p>7、第3章 差分方程模型,3.3节 二阶线性常系数 齐次差分方程及其应用,3.3.1 二阶线性常系数 齐次差分方程,3.3.1 二阶线性常系数 齐次差分方程,3.3.2 斐波那契数列,3.3.2 斐波那契数列,3.3.2 斐波那契数列,3.3.2 斐波那契数列,3.3.3 市场经济中的蛛网模型 1. 问题提出,3.3.3 市场经济中的蛛网模型 2. 问题分析,3.3.3 市场经济中的蛛网模型 3.模型一（蛛网模型）,3.3.3 市场经济中的蛛网模型 3.模型一（蛛网模型）,3.3.3 市场经济中的蛛网模型 3.模型一（蛛网模型）,图3.4 蛛网模型示意图,3.3.3 市场经济中的蛛网模型 3.模型一（蛛网模型）,3.3.。</p><p>8、一、线性微分方程的解法,(一) 线性微分方程的解的结构,问题:,1.二阶齐次方程解的结构:,例如,线性无关,线性相关,1).函数的线性相关性,例如,2)二阶齐次线性方程的通解,2.二阶非齐次线性方程的解的结构 1)通解的构成,2) 特解的叠加原理,(二) 降阶法与常数变易法 1.齐次线性方程求线性无关特解-降阶法,代入(1)式, 得,则有,解得,刘维尔公式,齐次方程通解为,降阶法,的一阶方程,设对应齐次方程通解为,(3),设非齐次方程通解为,设,(4),2.非齐次线性方程通解求法-常数变易法,(5),(4),(5)联立方程组,积分可得,非齐次方程通解为,解,对应齐方一特解为,。</p><p>9、第五讲 二阶常系数非齐次线性 微分方程,内容提要 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法. 教学要求 掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法.,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,一、 型,设非齐方程特解为,代入原方程,综上讨论,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.,特别地,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解为,例1,利用欧拉公式,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.,解,对应齐方通解,作辅助方程,代。</p><p>10、第四节 二阶常系数线性微分方程,教学内容：二阶常系数线性微分方程解的结构及解法（特征方程法，待定系数法） 一.二阶常系数线性微分方程解的结构 二 . 方程的解法特征方程法,三二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及其求解方法待定系数法,教学重点： （p,q为常数）的解法； 的特解求法,教学方法：讲授与练习结合,教学难点：,的特解求法,教学手段：多媒体课件与面授讲解相结合,一 一. 二阶常系数线性微分方程解的结构 定义1 形如 （其中p,q为常数（41） 的方程称为二阶常系数线性微分方程， 称为自由项，特 别地，当 = 0时， （ 42）称。</p><p>11、二阶常系数齐次线性方程,定义 线性微分方程解的结构 二阶常系数齐次线性方程解法,一、定义,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,二、线性微分方程的解的结构,1.二阶齐次方程解的结构:,问题:,例如,三、二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,将其代入上方程, 得,故有,特征方程,特征根, 有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,特征根为, 有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为, 有一对共轭复根,重新组合,得齐次方程的通解为,特征根为,定义,由常系数齐次线性方程的。</p><p>12、1,第三节 二阶常系数线性微分方程的解法,一、二阶常系数线性微分方程解的性质与通解的结构,二阶常系数线性微分方程的标准形式,其中a,b是常数.,(1),(2),称为二阶常系数齐次线性微分方程。,2,二阶常系数齐次线性方程解的性质,回顾,一阶齐次线性方程,1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；,2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；,3,二阶常系数齐次线性方程解的性质,1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解；,2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；,也是(2)的解.,(称线性无关),则上式为(2)的通解.,定理1,(2),4,二、二阶常系。</p>