积分的计算

积分的计算Tag内容描述：<p>1、返回上页页下页页目录录 第二节 二重积分的计算方 法 第八章 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、小结与思考练习 Date1 返回上页页下页页目录录 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间的体积元素为 因此所求立体体积为 上连续, 复习: 平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直 于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积 也可用定积分来计算. Date2 返回上页页下页页目录录 牛顿 莱布尼兹公式 ( 牛顿 - 莱布尼兹公式) 证: 根据定理 2,故 因此 得 记作。</p><p>2、习题课 二重积分的计算 二重积分的计算方法是累次积分法，化二重 积分为累次积分的步骤是： 作出积分区域的草图 选择适当的坐标系 选定积分次序，定出积分限 1。关于坐标系的选择 这要从积分区域的形状和被积函数的特点 两个方面来考虑 一、主要内容 被积函数呈 常用极坐标 其它以直角坐标为宜 2。关于积分次序的选择 选序原则能积分，少分片，计算简 3。关于积分限的确定 二重积分的面积元 为正 确定积分限时一定要保证下限小于上限 积分区域为圆形、扇形、圆环形 看图定限 穿越法定限 和不等式定限 先选序，后定限 直角坐标系 。先 y 后。</p><p>3、习题课,一、 曲线积分的计算法,二、曲面积分的计算法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,线面积分的计算,第十章,一、曲线积分的计算法,1. 基本方法,曲线积分,第一类 ( 对弧长 ),第二类 ( 对坐标 ),(1) 统一积分变量,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2) 确定积分上下限,第一类: 下小上大,第二类: 下始上终,机动 目录 上页 下页 返回 结束,计算,其中L为圆周,提示: 利用极坐标 ,原式 =,说明: 若用参数方程计算,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,计算,其中L为摆线,上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.,提示:,机动 目录 上页 下页 返回。</p><p>4、第二讲 直角坐标系下二重积分的计算,内容提要 直角坐标系下二重积分的计算 教学要求 理解和熟练掌握二重积分的计算。,预备知识：,(1) 曲顶柱体体积：,(2)在直角坐标下，,二重积分,(3)平行截面面积为已知的立体的体积,如果积分区域为,（1）X型区域,1.对积分区域的讨论：,X-型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,1.直角坐标系下二重积分的计算,如果积分区域为,（2）Y型区域,Y-型区域的特点： 穿过区域且平行于 x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,可以用平行于坐标轴的直线,(3) 一般区域：,把 D 。</p><p>5、1,二重积分的计算方法,2,1 矩形区域,积分区域,2 积分区域为：,其中函数,在区间 上连续.,3,3 积分区域为：,其中函数,在区间,上连续.,4二重积分的换元,4,5极坐标变换,6交换积分顺序进行计算,5,例 计算球面 上被柱面,所截取部分曲面,的面积.,6,例1,解,所围平面闭区域.,两曲线的交点,7,D: x + y =1 , x y = 1，x = 0 所围,1,1,1,y =1 x,y = x 1,例2 将二重积分化成二次积分,8,例3 计算,解,9,解,10,例5,交换积分次序：,解,积分区域:,原式=,11,D:,a,a,x = y,例6 将二次积分换序,12,2R,区域边界：,x = 0,即 r =2Rsin,r =2Rsin,例7,13,解,例8,计算。</p>