矩阵的对角化.

矩阵的对角化.Tag内容描述：<p>1、4 对称矩阵的对角化,一、对称矩阵的性质,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化,1、定理5 对称矩阵的特征值为实数.,一、对称矩阵的性质,说明：本节所提到的对称矩阵，均指实对称矩阵,2、定理6,4、定理7,3、,利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为：,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化,解,例1 设实对称矩阵 求正交矩阵 P，使 为对角阵.,得基础解系,得基础解系,单位化，得,单位化，得,得基础解系,单位化，得,解,例2 设实对称矩阵 求正交矩阵 P，使 为对角阵.,单位化，得,单位化，得,正交化，得,于是得正交阵,例3,1. 对称矩阵的性质：,三、。</p><p>2、5.2 矩阵的相似对角化,5.2.1. 相似矩阵的基本概念 5.2.2. 矩阵的相似对角化 5.2.3. 可相似对角化矩阵的应用,5.2.1 相似矩阵的基本概念,定义,矩阵相似是一种等价关系.,定理,相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、相同的迹、相同的行列式、相同的秩.,证明,A与B特征多项式相同,因而特征值相同.,相似矩阵的性质：,例,因此，x=0，y=-2.,解,通过计算，可知 2 是 A 的一个特征值,(1),相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆. 当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似.,关于相似矩阵的一些其它性质：,与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵I本身.,与数量矩阵。</p><p>3、第三节 相似矩阵,一、相似矩阵与相似变换的概念,1. 等价关系,二、相似矩阵与相似变换的性质,推论 若 阶方阵A与对角阵,三、利用相似变换将方阵对角化,说明,如果A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能 对角化，但如果能找到n个线性无关的特征向量， A还是能对角化,例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？,解,解之得基础解系,求得基础解系,解之得基础解系,故 不能化为对角矩阵.,矩阵对角化的步骤：,解,解之得基础解系,所以 可对角化.,注意,即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应,四、小结,相。</p><p>4、1,一. 矩阵的特征值和特征向量,二. 相似矩阵和矩阵对角化,三. 向量的内积和施密特正交化,四. 实对称矩阵的对角化,第四章 矩阵的对角化,本章安排,2,第一节 矩阵的特征值和特征向量,一. 特征值与特征向量的概念,二. 特征值与特征向量的性质,三. 特征值与特征向量的求法,四. 小结 思考题,3,一. 特征值与特征向量的概念,使得,注：,是方阵。,（2）特征向量 是非零列向量。,4,（4）一个特征向量只能属于一个特征值。,的特征向量，即有,5,或,已知,所以齐次线性方程组( 2 )有非零解,或,定义 2,数,二. 特征值与特征向量的求法,6,称为矩阵 的特征方。</p>