可分离变量的微分

可分离变量的微分Tag内容描述：<p>1、第二节 可分离变量的微分方程,一、可分离变量的微分方程,二、典型例题,一、可分离变量的微分方程,形如 的方程，称为可分离变量的微分方程.,分离变量，得：,设 y= (x) 是方程的解,则有恒等式：,两边积分, 得,即：,设函数 G(y) 和 F(x) 是 g(y) 和 f(x) 的一个原函数 ,则有,当 G(y) 与F(x)可微且 G(y) =g(y)0时,说明由确定的隐函数 y=(x) 是的解.,称为方程的隐式通解, 或通积分.,同样,当F(x) = f (x) 0时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x=(y) 也是的解.,一、可分离变量的微分方程,形如 的方程，称为可分离变量的微分方程.,求解步骤： (变量分。</p><p>2、第二节 可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的通解.,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ),例2. 解初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,例3.,子的含量 M 成正比,求在,衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.,解: 根据题意, 有,(初始条件),分离变量,即,利用初始条件, 得,故所求铀的变化规律为,然后积分:,已知 。</p><p>3、对称式),可分离变量的微分方程,形如,解法,分离变量法,为微分方程的解,叫做方程的隐式解又叫隐式通解.,二、典型例题,例1 求解微分方程,的通解.,例2,例3 一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴间的任一,切线段均被切点平分，求这曲线方程。,思考与练习,化下列方程为可分离形式：,定义,的微分方程称为齐次方程.,齐次方程,解法,作变量代换,例1 解微分方程,例 2 解微分方程,例 3 解微分方程,1.定义 一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,一阶线性微分方程,一、线性方程,2.解法,齐次方程的通解为,分离变量法:,常数。</p><p>4、形式：,解法：分离变量，初等积分。,12.2 (一)可分离变量的微分方程,例1(1) 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,通解,且已包含,例1(2) 求解微分方程的通解,通过变量代换解决，先考虑。稍后讲,解,由题设条件,例5,有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.,解,由力学知识得,单位时间水从孔口流出的流量为,设在微小的时间间隔,水面的高度由h降至 ,比较(1)和(2)得:,即为未知函数的微分方程.,可。</p><p>5、第二节 可分离变量的微分方程,一、可分离变量的微分方程,二、典型例题,一、可分离变量的微分方程,形如 的方程，称为可分离变量的微分方程.,分离变量，得：,设 y= (x) 是方程的解,则有恒等式：,两边积分, 得,即：,设函数 G(y) 和 F(x) 是 g(y) 和 f(x) 的一个原函数 ,则有,当 G(y) 与F(x)可微且 G(y) =g(y)0时,说明由确定的隐函数 y=(x) 是的解.,称为方程的隐式通解, 或通积分.,同样,当F(x) = f (x) 0时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x=(y) 也是的解.,一、可分离变量的微分方程,形如 的方程，称为可分离变量的微分方程.,求解步骤： (变量分。</p>