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第二节 可分离变量的微分方程,一、可分离变量的微分方程,二、典型例题,一、可分离变量的微分方程,形如 的方程，称为可分离变量的微分方程.,分离变量，得：,设 y= (x) 是方程的解,则有恒等式：,两边积分, 得,即：,设函数 G(y) 和 F(x) 是 g(y) 和 f(x) 的一个原函数 ,则有,当 G(y) 与F(x)可微且 G(y) =g(y)0时,说明由确定的隐函数 y=(x) 是的解.,称为方程的隐式通解, 或通积分.,同样,当F(x) = f (x) 0时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x=(y) 也是的解.,一、可分离变量的微分方程,形如 的方程，称为可分离变量的微分方程.,求解步骤： (变量分离法),1、分离变量,得,2、两边积分,得,3、求出通解,隐函数确定的微分方程的解,微分方程的隐式通解,例1 求解微分方程,解,分离变量 , 得,两端积分 , 得,二、典型例题,解得,例2 求解微分方程,解,分离变量,得,两端积分,得,解得,解,分离变量,得,两端积分,得,解得,解,根据题意,有,(初始条件),对方程分离变量,即,利用初始条件, 得,故所求铀的变化规律为,然后积分:,解 根据牛顿第二定律 , 得,初始条件为,对方程分离变量 ,然后积分 :,得,利用初始条件,得,代入上式后化简, 得特解,例 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 成正比,并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 )速度为0, 求降落伞下落速度与时间的函数关系.,t 足够大时,解,分离变量,解得,然后积分 :,可分离变量的微分方程初值问题:,的解也可直接用变上限积分来确定：,分离变量法步骤:,1.分离变量;,2.两端积分隐式通解.,三、小结,若是求特解，还需根据初值条件定常数 .,(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.,常用的方法:,1) 根据几何关系列方程,2) 根据物理规律列方程,3) 根据微量分析平衡关系列方程.,(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定初值条件.,(3) 求通解, 并根据初值条件确定特解.,3. 解微分方程应用题的方法和步骤,思考与练习,求方程的通解 :,提示:,方程变形为,练 习 题,练习题答案,例 9 有高为 1 m 的半球形容器 , 水从它的底部小孔流出 , 小孔横截面积为 1 cm2 (如图). 开始时容器内盛满了水 , 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度 h (水面与孔口中心间的距离) 随时间t 的变化规律 .,解,由力学知识得,水从孔口流出的流量为,设在微小的时间间隔
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