可降阶的高阶

可降阶的高阶Tag内容描述：<p>1、9.3 可降阶的高阶方程,1 形如 y(n) = f (x) 的方程,对方程两边积分有,再积分得,再积分得,再积分得方程的通解,2 二阶可降阶方程,(1) 不显含因变量的二阶方程,(1),令 , 则 ,代入方程 (1) 有,( 一阶方程 ),这是一不显含因变量 y 的二阶方程,令 , 则 ,代入方程有,( 伯努里方程 ),令 得,通解,解,如图建立坐标系,在曲线上取一点 M(x, y) ( O),O点处的张力: H ,M点处的张力: T,由于绳索平衡 在各方向上的合力为零,在水平方向上:,在垂直方向上:,两式相除得,( 其中 ),两边对 x 求导得,( 不显含因变量 y 的方程 ),( 可分离变量方程 ),代入方程有,积。</p><p>2、1,4.3 可降阶高阶微分方程,一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,2,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .,型的微分方程,3,例1.,解:,4,例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线,运动,在开始时刻,随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减,直到 t = T 时 F(T) = 0 .,如果开始时质点在原点,解: 据题意有,t = 0 时,设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) .,小,求质点的运动规律.,初初速度为0,且,对方程两边积分, 得,5,利用初始条件,于是,两边再积分得,再利用,故所求质点运动规律为,6,。</p><p>3、第五节,可降阶的高阶微分方程,一、y(n) = f (x) 型微分方程,解法：,其特点为：,通过积分降阶.,解,解,其特点为：,解法：,解,一阶线性非齐次微分方程,原方程化为,解线性方程, 得,两端积分, 得,所以原方程通解为,解,其特点为：,解法：,解,将方程改写成,两边积分得通解,这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.,解,另解,。</p><p>4、一元微积分学,大 学 数 学（一）,第三十四讲 常微分方程,第七章 常微分方程,本章学习要求：,了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. 了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法. 会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. 知道下列高阶方程的降阶法：,了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法. 熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. 掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正。</p><p>5、第七节 可降阶的高阶微分方程,二、 型,三、恰当导数方程,四、齐次方程,一、 型,五、小结 思考题,代入原方程, 得,解法：,特点：,P(x)的(n-k)阶方程,可得通解.,一、 型,解,代入原方程,解线性方程, 得,两端积分,得,原方程通解为,例 1,求得其解为,原方程通解为,特点：,解法：,二、 型,解,代入原方程得,原方程通解为,例 2,特点,解法：,类似于全微分方程可降低一阶,再设法求解这个方程.,三、恰当导数方程,解,将方程写成,积分后得通解,注意:,这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.,例 3,特点：,解法：,四、齐次方程,解,代入原方程,得,原方程通解。</p><p>6、第四节 可降阶的高阶微分方程,一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程,一、 型,特点 方程右边仅含有x 方法 两边积分,例题1 p351,代入原方程, 得,解法：,特点：,P(x)的(n-k)阶方程,可得通解.,二、 型,解,代入原方程,解线性方程, 得,两端积分,得,原方程通解为,例 1,求得其解为,原方程通解为,特点：,解法：,三、 型,解,代入原方程得,原方程通解为,例 2,特点,解法：,类似于全微分方程可降低一阶,再设法求解这个方程.,四、恰当导数方程,解,将方程写成,积分后得通解,注意:,这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.,例 3,特点：,。</p>