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文档简介
9.3 可降阶的高阶方程,1 形如 y(n) = f (x) 的方程,对方程两边积分有,再积分得,再积分得,再积分得方程的通解,2 二阶可降阶方程,(1) 不显含因变量的二阶方程,(1),令 , 则 ,代入方程 (1) 有,( 一阶方程 ),这是一不显含因变量 y 的二阶方程,令 , 则 ,代入方程有,( 伯努里方程 ),令 得,通解,解,如图建立坐标系,在曲线上取一点 M(x, y) ( O),O点处的张力: H ,M点处的张力: T,由于绳索平衡 在各方向上的合力为零,在水平方向上:,在垂直方向上:,两式相除得,( 其中 ),两边对 x 求导得,( 不显含因变量 y 的方程 ),( 可分离变量方程 ),代入方程有,积分得,令 x = 0 , p = 0 c1 = 0 ,所以有,再令 x = 0 , y = 0 c2 = a,所以有,解,设猎狗的运动轨迹曲线为 y=y(x),在时刻 t , 兔子位于 A( 1, vt ) ,猎狗位于 B( x , y ) ,则据题意有,又,两边对 x 求导有,( 不显含因变量的方程 ),令 , 则 ,代入方程有,分离变量得,令 x = 0 , p = 0 c1 = 1 ,两式相减得,令 x = 0 , y = 0 得,所以猎狗的运动轨迹为,解,0.1,根据牛顿第二定律有,若记 及注意到 v(0) = 200,( 可分离变量方程 ),设子弹穿透板的所用时间为 T ,则据题意,又 v (T) = 80,于是有,解,代入方程有,即,通解,由,得,所以原方程的通解,(2) 不显含自变量的二阶方程,(2),令 , 则,代入方程有,( 关于 p , y 的一阶方程 ),解,方程是不显含自变量 x 的二阶方程,令 , 则,代入方程有,( 伯努里方程 ),令 , 得,通解,由 x = 0 , y = 1 , p = 1 ,代入方程有 c1= 0, p = y 或者 p = y,因为 x = 0 , y = 1 , p = 1 ,故 p = y 不合题意舍去,故
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