可降阶的高阶微分方程.

可降阶的高阶微分方程.Tag内容描述：<p>1、湘潭大学数学与计算科学学院,1,第4章 微分方程与差分方程,湘潭大学数学与计算科学学院,2,在科学技术和经济管理等许多实际问题中，,系统中的变量间往往可以表示成一个（组）微分方程,或差分方程，它们是两类不同的方程，前者处理的量,的离散变量，,间隔时间周期作为统计的.,动态,是连续变量；而后者处理的量则是依次取非负整数值,例如在经济变量的数据中就有很多以,湘潭大学数学与计算科学学院,3,4.1 几类可降阶的高阶微分方程,四、 小结,一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,湘潭大学数学与计算科学学院,4,下面介绍三。</p><p>2、- 1 -,第三节 可降阶的高阶微分方程,一 型的微分方程,二 型的微分方程,三 型的微分方程,- 2 -,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .,型的微分方程,- 3 -,例1.,解:,- 4 -,例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线,运动,在开始时刻,随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减,直到 t = T 时 F(T) = 0 .,如果开始时质点在原点,解: 据题意有,t = 0 时,设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) .,小,求质点的运动规律.,初初速度为0,且,对方程两边积分, 得,- 5 -,利用初始条件,于是,两边再积分得,再利用,故所。</p><p>3、代入原方程, 得,解法：,特点：,P(x)的(n-k)阶方程,可得通解.,一、 型,第七节 可降阶的高阶微分方程,解,代入原方程,解线性方程, 得,两端积分,得,原方程通解为,例 1,求得其解为,原方程通解为,特点：,解法：,二、 型,解,代入原方程得,原方程通解为,例 2,特点,解法：,类似于全微分方程可降低一阶,再设法求解这个方程.,三、恰当导数方程,解,将方程写成,积分后得通解,注意:,这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.,例 3,特点：,解法：,四、齐次方程,解,代入原方程,得,原方程通解为,例 4,五、小结,解法,通过代换将其化成较低阶的方程来求解.,解,。</p><p>4、第五节 可降阶的高阶微分方程,一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 四、小结,一、 型的微分方程,例1：,解：,两边积分可得：,再积分一次得：,解法,这种方程的通解可经过积分 次而求得。,求特解时,一般应在每次积分后确定一个常数.,二、不显含未知函数 y 的二阶微分方程,形式为 的微分方程。,解法：,此时，该二阶微分方程变为一阶微分方程，求出 一阶微分方程的通解后再两边积分即可。,例2,解：,两边积分得到,两边再积分得,于是所求方程的特解为：,P318-3,三、不显含自变量 x 的二阶微分方程,解法：,这时方程变为一阶微。</p><p>5、,代入原方程, 得,解法：,特点：,P(x)的(n-k)阶方程,可得通解.,一、 型,解,代入原方程,解线性方程, 得,两端积分,得,原方程通解为,例 1,求得其解为,原方程通解为,特点：,解法：,二、 型,解,代入原方程得,原方程通解为,例 2,特点,解法：,类似于全微分方程可降低一阶,再设法求解这个方程.,三、恰当导数方程,解,将方程写成,积分后得通解,注意:,这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.,例 3,特点：,解法：,四、齐次方程,解,代入原方程,得,原方程通解为,例 4,五、小结,解法,通过代换将其化成较低阶的方程来求解.,解,从而通解为,例 5,另解,原方程。</p>