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第五节 可降阶的高阶微分方程,一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 四、小结,一、 型的微分方程,例1：,解：,两边积分可得：,再积分一次得：,解法,这种方程的通解可经过积分 次而求得。,求特解时,一般应在每次积分后确定一个常数.,二、不显含未知函数 y 的二阶微分方程,形式为 的微分方程。,解法：,此时，该二阶微分方程变为一阶微分方程，求出 一阶微分方程的通解后再两边积分即可。,例2,解：,两边积分得到,两边再积分得,于是所求方程的特解为：,P318-3,三、不显含自变量 x 的二阶微分方程,解法：,这时方程变为一阶微分方程：,解,代入原方程得,原方程通解为,例3,P320-5,四、小结,解法,通过代换将其化成较低阶的方程来求解.,作业:P323: 1-5)(7)(9), 2-(1)(3)(5), 3.,练 习 题,练习题答案,四、恰当导数方程,解 1,将方程写成,积分后得通解,注意:,这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.,例 4,解 2,从而通解为,例 4,解 3,原方程变为,两边积分,得,原方程通解为,例 4,解,代入原方程,得,原方程通解为,例 5,五、变量代换降阶法,解,例 6,五、变量代换降阶法,原方程通解为,代入原方程,得,解,表示在时刻 时质点的位置,根据牛顿第二定律,质点运动的微分方程为,由题设, 且力随时间的增大而均匀地减小; 所以,例2 质量为 的质点受力 的作用沿 轴作直线运动.设力 仅是时间 的函数: .在开始时刻 时 ,随着时间 的增大,此力 均匀地减小,直到 时, .如果开始时质点位于原点,且初速度为零,求质点在 时的运动规律.,从而,方程为,初始条件为,两端积分得,代入初始条件,于
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