幂级数展开式

幂级数展开式Tag内容描述：<p>1、第五节 函数展成幂级数 教学重点:泰勒级数 麦克劳林级数 直接法 间接法 教学难点:直接法 间接法,一 泰勒(Taylor)级数,二 幂级数在近似计算中的应用,函数展开成幂级数,前面研究的是幂级数的收敛域及和函数,现在反过 来,某个函数是否可以在某个区间内用幂级数表示,一. 泰勒级数,第三章研究过泰勒公式:,其中f(x) 在 的某邻域内具有n+1阶导数.,余项,此时, f(x)可以用前n+1项近似表示,误差为,由此引入泰勒级数:,1. 定义,若f(x)在 的某邻域内具有各阶导数,则,f(x)在 的泰勒级数,泰勒系数,麦克劳林级数,2. 泰勒定理:,若f(x) 在 的某邻域内具有各。</p><p>2、第五节,一、近似计算,二、欧拉公式,函数幂级数展开式的应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一章,一、近似计算,例1. 计算,的近似值, 精确到,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算,的近似值 ,使准确到,解: 已知,故,令,得,于是有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在上述展开式中取前四项,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 在展开式,中,令,得,具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如,( n为自然数) ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 利用,求,误差.,解: 先把角度化为弧度,(弧度),误差不超过,的近似值 , 并估计,机动 目录 。</p><p>3、一、近似计算,两类问题:,1.给定项数,求近似值并估计精度;,2.给出精度,确定项数.,关健:,通过估计余项,确定精度或项数.,常用方法:,1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;,2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.,例1,解,余和:,例2,解,其误差不超过 .,二、计算定积分,解法,逐项积分,展开成幂级数,定积分的近似值,被积函数,第四项,取前三项作为积分的近似值,得,例3,解,收敛的交错级数,三、求数项级数的和,1.利用级数和的定义求和:,(1)直接法;,(2)拆项法;,(3)递推法.,例4,解,2.阿贝尔法(。</p><p>4、第五节 函数幂级数展开式的应用,一、近似计算 二、计算定积分 三、欧拉公式 四、小结,一、近似计算,两类问题:,1.给定项数,求近似值并估计精度;,2.给出精度,确定项数.,关健:,通过估计余项,确定精度或项数.,常用方法:,1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;,2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.,例1,解,余和:,例2,解,其误差不超过 .,二、计算定积分,解法,逐项积分,展开成幂级数,定积分的近似值,被积函数,第四项,取前三项作为积分的近似值,得,例3,解,收敛的交错级数,三、欧拉公式,。</p><p>5、1,第四节,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,初等函数的幂级数展开,二、函数展开成幂级数,2,两类问题:,在收敛域内,和函数,3,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :,4,为f (x) 的泰勒级数 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?,待解决的问题 :,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,5,定理1 .,各阶导数,则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级。</p><p>6、其中，如果定理1(泰勒平均值定理)函数f(x)在x0点的相邻U(x0)内一直到n阶连续导数，当x取U(x0)内的任意值时，f(x)会扩展到(xxx0)的平方，f(x)=f，泰勒系数，k=0，1，2，n是唯一的。一个，泰勒公式是函数f(x)在x0的一个根上有任意阶导数的话，函数f(x)是x0的泰勒级数，=f(x0)f(x0)，第二个，泰勒级数，叫做函数f(x)的麦克劳林级数，定义，(1。</p>