齐次微分方程

齐次微分方程Tag内容描述：<p>1、常系数非齐次线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九节 一、 二、 第十二章 Date阜师院数科院 二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 非齐次方程特解齐次方程通解 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Date阜师院数科院 一、 为实数 , 设特解为其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 则取 从而得到特解 形式为 为 m 次多项式 . Q (x) 为 m 次待定系数多项式 机动 目录 上页 下。</p><p>2、目录 上页 下页 返回 结束 常系数 第七节 齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根 转化 第七章 目录 上页 下页 返回 结束 二阶常系数齐次线性微分方程: 和它的导数只差常数因子, 代入得 称为微分方程的特征方程, 1. 当时, 有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 ( r 为待定常数 ), 所以令的解为 则微分 其根称为特征根. 目录 上页 下页 返回 结束 特征方程 2. 当时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定) 代入方程得: 是特征方程的重根 。</p><p>3、2019/3/30,高等数学课件,常系数非齐次线性微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第九节,一、,二、,第十二章,2019/3/30,高等数学课件,二阶常系数线性非齐次微分方程 :,根据解的结构定理 , 其通解为,求特解的方法,根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 ., 待定系数法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2019/3/30,高等数学课件,一、, 为实数 ,设特解为,其中 为待定多项式 ,代入原方程 , 得,(1) 若 不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为 m 次多项式 .,Q (x) 为 m 次待定系数多项式,机动 目录 。</p><p>4、二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,自由项为,二阶常系数非齐次线性微分方程,一、 型,设非齐方程特解为,代入原方程,综上讨论,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.,特别地,例1,解,特征方程,特征根,对应齐次方程通解,代入方程, 得,原方程通解为,求通解,解,特征方程,特征根,齐通解,即,代入（*）式,非齐通解为,例2,分别是,的实部和虚部,可设,辅助方程,由分解定理,分别是以,为自由项的非齐次线性微分方程的特解,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐。</p><p>5、第十二章 微分方程,第三节,上页 下页 返回 结束,齐次方程,如果一阶微分方程,中的 f (x, y) 可以写成,则称该方程为齐次方程.,f (x, y) 是 x, y 的齐次函数 特点: f (tx, ty) = f (x, y),齐次方程,令,代入原方程得,两边积分, 得,积分后再用,代替 u,得原方程的通解.,的解法:,分离变量:,上页 下页 返回 结束,例1. 解微分方程,解,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,( C 为任意常数 ),上页 下页 返回 结束,例2. 解微分方程,解,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,注 显然 y = x 也是原方程的解, 但在,(C 为任意常数),。</p><p>6、课前练习： 的通解,在 连续，且满足 求f ( t ),答案：,2.知识点：1）二重积分（极坐标）；2）变上限求导；3）一阶线性方程求解；4）常数c的确定。,微分方程解题思路,一阶方程,分离变量法,齐次方程,公式法,常数变易法,10.5 二阶常系数线性微分方程,一、二阶常系数线性齐次方程,二、二阶常系数线性非齐次方程,10.5二阶常系数线性微分方程,标准形式,齐次线性方程的标准形式,非齐次线性方程的标准形式,一、二阶常系数线性齐次方程的通解,1.二阶齐次方程解的结构定理:,注意: 常数， 若 常数,证明时，应先证明y是解，然后说明是通解,定理也可描。</p><p>7、一、 二阶常系数线性非齐次微分方程 二、 小结与作业,第五节 二阶常系数线性非齐次微分方程,一、二阶常系数线性非齐次微分方程,1. 一般式,2. 对应的齐次方程,3. 解的结构,若函数 是线性非齐次方程的一个特解, 是该方程所对应的线性齐次方程的通解.则 是线性非齐次方程的通解.,4. 取两种常见形式时特解得求法,其中,解,特征方程,解之得,例1,代入方程, 化简得,从而所求特解为,则,解,对应齐次线性方程通解,特征方程,解之得,例2,代入方程, 得,原方程通解,解,对应齐次线性方程通解,特征方程,解之得,例3,原方程通解,代入方程, 得,所求方程的特解,。</p><p>8、常系数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第八节,齐次线性微分方程,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,第十二章,二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的特征方程,1. 当,时, 有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,( r 为待定常数 ),所以令的解为,则微分,其根称为特征根.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 当,时, 特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,( u (x) 待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取 u = x , 则得,因此原。</p><p>9、常系数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第八节,齐次线性微分方程,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,第十二章,二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的特征方程,1. 当,时, 有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,( r 为待定常数 ),所以令的解为,则微分,其根称为特征根.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 当,时, 特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,( u (x) 待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取 u = x , 则得,因此原。</p><p>10、一、定义,n阶常系数线性微分方程的标准形式,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,二、二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,将其代入上方程, 得,故有,特征方程,特征根,1. 有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,特征根为,2.有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为,3.有一对共轭复根,重新组合,得齐次方程的通解为,特征根为,定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例1,解,特征方程为,解得,故。</p><p>11、第五节 二阶常系数线性齐次微分方程,一、二阶常系数线性齐次微分 方程解的性质与通解结构 二、二阶常系数线性齐次微分 方程的解法,的方程，称为二阶线性微分方程.当 时，方程(1)成为,形如,定理11.1 设y1(x)， y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个解，则 也是方程(3)的解，其中C1, C2是任意常数.,一、二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构,证,这个定理表明，二阶线性齐次微分方程任何两个解y1(x)， y2(x)的线性组合 ，仍是方程的解.那么， 是不是方程(3)的通解呢？,例1 对于二阶常系数线性齐次微分方程,容易验证： 都是它。</p><p>12、一、定义,n阶常系数线性微分方程的标准形式,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,二、二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,将其代入上方程, 得,故有,特征方程,特征根,1. 有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为,特征根为,2.有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为,特征根为,3.有一对共轭复根,重新组合,得。</p>