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目录 上页 下页 返回 结束 常系数 第七节 齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根 转化 第七章 目录 上页 下页 返回 结束 二阶常系数齐次线性微分方程: 和它的导数只差常数因子, 代入得 称为微分方程的特征方程, 1. 当时, 有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 ( r 为待定常数 ), 所以令的解为 则微分 其根称为特征根. 目录 上页 下页 返回 结束 特征方程 2. 当时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定) 代入方程得: 是特征方程的重根 取 u = x , 则得因此原方程的通解为 目录 上页 下页 返回 结束 特征方程 3. 当时, 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解: 因此原方程的通解为 目录 上页 下页 返回 结束 小结: 特征方程: 实根 特 征 根通 解 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 目录 上页 下页 返回 结束 若特征方程含 k 重复根 若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项 则其通解中必含 对应项 特征方程: 推广: 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 的通解. 解: 特征方程特征根: 因此原方程的通解为 例2. 求解初值问题 解: 特征方程有重根 因此原方程的通解为 利用初始条件得 于是所求初值问题的解为 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 的通解. 解: 特征方程特征根: 因此原方程的通解为 目录 上页 下页 返回 结束 例4.的通解. 解: 特征方程特征根: 因此原方程通解为 例5. 解: 特征方程:特征根 : 原方程通解: (不难看出, 原方程有特解 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 解: 特征方程: 即 其根为 方程通解 : 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 解: 特征方程: 特征根为 则方程通解 : 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 特征根: (1) 当时, 通解为 (2) 当时, 通解为 (3) 当时, 通解为 可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 . 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 求方程的通解 . 答案:通解为 通解为 通解为 第八节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 为特解的 4 阶常系数线性齐次微分
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