曲面的切平面与法线

曲面的切平面与法线Tag内容描述：<p>1、曲面的切平面与法线方程设 中曲面的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面上点 处可微，且 ，过点 任意引一条位于曲面上的曲线。设其方程为 ，且 对应于点 ； 不全为零。由于曲线在上，则有 及 。该方程表示了曲面上任意一条过点 的曲线在该点的切线都与向量 垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面在点 处的切平面. 点 称为切点. 向量 称为曲面在点 处的一个法向量。 记为 。基本方法：1、设点 在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, z)在点 处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点 。</p><p>2、5 曲面的切平面与法线,若曲面方程为 设 对各个变量有连续偏导数. 为 曲面上一点,过点 任作一条在曲线 ,设其方程为 显然 对 求导,在 点(设此时对应于 )有 前已知道,向量 正是曲线 在 在 点的切向量. 上式说明向量,与切向量正交.由于 的任意性,可见曲面上过 的任一条曲线在该点的切线都与 正交,因此这些切线应在同一平面上,这个平面就称为曲面在 点的切平面,而 就是切平面的法向量.从而即可写出曲面在 点的切平面方程为 过 点并与切平面垂直的直线,称为曲面在 点的法线,它的方程是 设 分别为曲面在 的法线与 轴正向之间的夹角,那么在 点的法。</p><p>3、9.2曲面的切平面与法线,设曲面方程为,曲线在M处的切向量,切平面,二、曲面的切平面与法线,在曲面上任取一条通过点M的曲线,法线,令,则,切平面方程为:,曲线在M处的切向量,法线方程为:,解,令,切平面方程,法线方程,例1,切平面方程为,法线方程为,解,例2,注：空间曲面方程形为,曲面在M处的切平面方程为:,曲面在M处的法线方程为:,令,曲面在M处的切平面的法向量为:,所求切平面的法向量为:,法线方程为:,解,例4,切平面方程为:,切平面上点的竖坐标的增量,曲面: z = f ( x, y ) 在M处的切平面方程为,全微分的几何意义:,空间曲线的切线与法平面,曲面的切。</p><p>4、______________________________________________________________________________________________________________ 曲面的切平面与法线方程 设 中曲面的方程为F (x , y , z) = 0，函数F (x , y , z)在曲面上。</p><p>5、8 5 2 曲面的切平面与法线 过曲面 上一点M 在曲面 上的曲线有无数多条 每一条曲线点M处都有一条切线 在下面的讨论中将会发现 在一定的条件下 这些切线位于同一平面 我们称这个平面为曲面 在点M处的切平面 设曲面 的。</p><p>6、5,曲面的切平面与法线,若曲面方程为,设,对各个变量有连续偏导数,.,为,曲面上一点,过点,任作一条在曲线,设其方程为,显然,对,求导,在,点,(,设此时对应于,),有,前已知道,向量,正是曲线,在,在,点的切向量,.,上式说明向量,0,),(,?,z,y,x,F,),(,z,y,x,F,),(,0,0,0,0,z,y,x,M,0,M,l,),(,),。</p>