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5 曲面的切平面与法线,若曲面方程为 设 对各个变量有连续偏导数. 为 曲面上一点,过点 任作一条在曲线 ,设其方程为 显然 对 求导,在 点(设此时对应于 )有 前已知道,向量 正是曲线 在 在 点的切向量. 上式说明向量,与切向量正交.由于 的任意性,可见曲面上过 的任一条曲线在该点的切线都与 正交,因此这些切线应在同一平面上,这个平面就称为曲面在 点的切平面,而 就是切平面的法向量.从而即可写出曲面在 点的切平面方程为 过 点并与切平面垂直的直线,称为曲面在 点的法线,它的方程是 设 分别为曲面在 的法线与 轴正向之间的夹角,那么在 点的法线方向余弦为,若曲线方程是 它很容易化为刚才讨论过的情形 于是曲面在点 （这里 ）的切平面方程为 法线方程为,最后，若曲面方程为参数形式 如果由 决定了两个函数 因此可以将 看为 的函数，这样问题就化为刚才已经讨论过的问题了.因此只要求出 及 .为此,将 分别对 求导,并注意到 为 的函数,按隐函数求导法则有,由这两个方程可解出 及 于是,在 点的切平面方程应为 法线方程为 对于曲面方程为显示表示及参数表示时,同样可写出它们在 点的法线方向余弦,请读者写出.,例1 求曲面 在点 的切平面及法线方程. 通常两曲线在交点的夹角,是指交点外两个切向量的夹角;两曲面在交线上一点的夹角,是指两曲面在交点的法线的夹角.如果两曲面在交线的每一点都正交,则称这两曲面为
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