特征值及特征向量

特征值及特征向量Tag内容描述：<p>1、3.3 实对称矩阵特征值和特征向量 永远可以对角化。 实数域上的对称矩阵简称为实对称矩阵。 这类矩阵的最大优点是特征值都是实数， 定理4.12 实对称矩阵的特征值都是实数。 一、 实对称矩阵特征值的性质 证明：设是 阶实对称矩阵， 是矩阵 的在复数 域上的任一特征值， 属于 的特征向量为 两边取复数共轭得到则 ， 于是， (4.11) 由于 ， 对最后一式取复数转置，得到 两边再右乘 ， 得到 所以有 特征值都是实数。 这样， 是实数。由 的任意性，实对称矩阵 的 特征向量都是实数向量。 附注：进一步地有， 实对称矩阵的属于特征值的 一、 实。</p><p>2、第二节第二节 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 1 1、相关概念、相关概念 3 3、特征值和特征向量的性质、特征值和特征向量的性质 2 2、特征值和特征向量的求法、特征值和特征向量的求法 1 1、特征值与特征向量特征值与特征向量 说明 定义5.1 定义5.2 定义5.3 例1 2 2、特征值和特征向量的求法 解 注: 例2 解 例3 设求A的特征值与特征向量 解 3 3、特征值和特征向量的重要性质特征值和特征向量的重要性质 性质1 性质2 因此 注: 性质3 因此 证明: 例5 证明: 若是矩阵A的特征值, x是A的属于的特 征向量, 则 证明 再继续施行上述。</p><p>3、课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 2.5 特征值与特征向量章末综合检测 苏教版选修4-21.求矩阵M的特征值和特征向量.【解】矩阵M的特征多项式f()(1)(6).令f()0，解得矩阵M的特征值11，26.将11代入方程组易求得为属于11的一个特征向量.将26代入方程组易求得为属于26的一个特征向量.综上所述，M的特征值为11，26，属于11的一个特征向量为，属于26的一个特征向量为.2.已知矩阵M的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量. 【导学号：30650055】【解】矩阵M的特征多项式为f()(1)(x)4因为13为方程f()0的一根，所以x1由(1)(1)40得21。</p><p>4、1,第六章 特征值与特征向量 第31次课,我们试图找一下“线性变换在基变换下的不变量”。已有的不变量： 线性方程组的解在初等行变换下不变； 线性方程组最终的阶梯形； 在初等变换下矩阵的秩； 在初等变换下矩阵的等价标准形； 另外，线性变换在不同基下矩阵的关系？是否可能在某组基下线性变换的矩阵变成最简单的形式？相似标准形！在本课程中不准备展开关于相似标准形的讨论，我们只准备讲授它的特殊形式对角形，并指出有的情形特列形式不可能做到。,1 特征值与特征向量,我们在前面的讲授时，一直没有考虑不同基之下的线性变换所结应的矩。</p><p>5、1,第五章 特征值与特征向量 第32次课,相似阵,线性变换在两组基下的矩阵的关系？,定理6.3 设有n维线性空间V上的线性变换,在基,的矩阵为,，,由基,到基,的过渡矩阵为,，则,A 在,的矩阵为,。,证明 由已知，,下,相似阵,且有,或,设,在,下的矩阵为,，则,相似阵,定义：称 n 阶矩阵 A相似于B （记为 ） ，,若存在可逆矩阵 X ，使得 。,定理6.4：线性变换在不同基下的矩阵相似， 两个相似矩阵可以看作同一个线性变换在 不同基下的矩阵。,相似阵的性质,9条性质,例题6.9,线性变换的特征值与特征向量与基 的选择无关！,6,第32次课作业 P234: 4, 6, 17, 。</p><p>6、8.4 特征值与特征向量,一. 引入特征值、特征向量概念 二. 特征值、特征向量概念 三. 特征多项式的性质,一. 特征值、特征向量概念引入,问题： 对任意的AL(V), 如何找到一个基，使A 在该基下的矩阵最简单？ 定义4 A L(V), 若存在A P，存在(0)V，使得 A =0 （1），则称0为A 的特征值，为A 的属于0的特征向量. 几何意义：V3中， A 与 在同一直线上，其长度相差|0|倍. 特征向量不为特征值所唯一确定，而特征值为特征向量所唯一确定（即特征向量只能属于一个特征值）.,证明：1）A 0 对任意的kP, k0, A (k) kA k(0)0(k) . 即: 凡k都是A 的属于0的。</p><p>7、1-,线 性 代 数,-2-,怎么理解,线性 Ax+b 代数 在数域中研究问题,-3-,代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。,例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。,线性关系问题简称线性问题。解线性方程组是最简单的线性问题。,-4-,线性代数作为独立的分支直到20世纪才形成，然而它的历史却非常久。</p><p>8、1,第五章 特征值与特征向量 第33次课,相似关系：,有无简单的相似标准型？,定理6.5 (1)数域P上n维线性空间V的线性变换A在某组基下的,矩阵为对角矩阵充分必要A有n个线性无关的特征向量。 下A的,相似标准型,(2) n阶矩阵A相似于一个对角矩阵充分必要A有n个线性 无关的特征向量。,重新考虑例题6.2， 6.3,定理6.6：不同特征值对应的特征向量线性无关。,推论6.3：设有数域P上n级矩阵A在P上有n个 不同的特征值，则存在A相似于对角矩阵。,定义6.4：特征子空间,反例：不能相似于对角矩阵的Jordan 型矩阵。,定理6.7：定理6.6的推广。,定义6.5：特征多。</p><p>9、第五章 特征值和特征向量,矩阵的对角化,矩阵的特征值 矩阵的特征向量 矩阵可对角化的条件,5.1 预备知识,一.向量的内积,在空间解析几何中,向量的内积(即数量积或点积)描述了内积与向量的长度及夹角间的关系.,内积定义 ：,夹 角 ：,向量的长度：,内积的坐标表示式 ：,令,称为向量x与y的内积.,定义1 设有n维向量,(1)向量x与y的内积是一个实数,注:,(2)常用符号(x,y)=x,y=xy.,(3)零向量与任一向量的内积为0.,当x与y都是列向量时,可以用矩阵乘法表示内积为,例1,已知,=(1,2,1,1)T,=(2,3,1,1)T,则, =,=12+23+(1)1+1(1)=6,也称点积,数量积.,“”,x,。</p><p>10、2线性变换的运算,3线性变换的矩阵,4特征值与特征向量,1线性变换的定义,6线性变换的值域与核,8若当标准形简介,9最小多项式,7不变子空间,小结与习题,第七章线性变换,5对角矩阵,7.4特征值与特征向量,一、特征值与特征向。</p>