微分方程建模

微分方程建模Tag内容描述：<p>1、2010年全国大学生数学建模竞赛暑期强化培训 微分方程模型 主讲人：徐世英 -中央民族大学理学院- 人口增长与人口问题背景知识 世界人口增长是由规律可循的 古代-增长缓慢 近代-人口快速增长 现代-人口“爆炸性”增长 影响人口增长的因素- 自然- 人文- 国际大环境- 生产力发展水平、经济、 医疗卫生条件、生活等 纵向观察： 空间差异 发展中国家：人口增长很快，目前发展中国家每年增 长的人口，在世界人口增长总数中约占90%，原因是： 政治的独立 民族经济的发展 医疗卫生事业的进步 致使人口死亡率下降而 自然增长率高 发达国家：人口增长。</p><p>2、二、案例分析 一、微分方程模型建模步骤 第一部分 微分分方程 建模基础 1对外经济贸易大学 应用数学系 一、举例子说明微分方程模型建模步骤 1 翻译或转化： 2 匹备物理单位： 3 建立表达式： 4 确定条件： 2对外经济贸易大学 应用数学系 1 翻译或转化： 在实际问题中许多表示导数的常用词，如“速率”、增长”(在 生物学以及人口问题研究中)，“衰变”(在放射性问题中)，以及 “边际的”(在经济学中)等 2 建立瞬时表达式： 根据自变量有微小改变t时，因变量的增量W，建立起在时段 t上的增量表达式，令t 0，即得到 的表达式 3 配备物理单位。</p><p>3、第五章 微分方程模型 5.1 传染病模型 5.2 经济增长模型 5.3 正规战与游击战 5.4 药物在体内的分布与排除 5.5 香烟过滤嘴的作用 5.6 人口预测和控制 5.7 烟雾的扩散与消失 5.8 万有引力定律的发现 动态 模型 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 微分 方程 建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程 5.1 传染病模型 问题 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到。</p><p>4、第二章 微分方程管模型第一节 人口学模型人口问题是当今世界人类面临的五大问题的首要问题。我国是世界上人口最多的国家，由于20世纪五六十年代人口政策方面的失误，不仅造成人口总数增长过快，而且年龄结构也不合理。人口的过份增长给我国经济发展造成沉重袍袱，严重地影响经济建设。能否有效地控制人口的增长，已成为本世纪中叶我国能否达到中等发达国家以至赶上发达国家的关键。建立数学模型对人口发展过程进行描述、分析和预测，并进而研究控制人口增长的生育政策，已引起有关人口专家和官员的极大关注和兴趣。以下我们就如何建立人口。</p><p>5、数学建模讲义,微分方程模型,微分方程模型,1、人口预报问题,3、捕食问题,2、传染病问题,0、总论与简例,根据规律建立模型, 根据数学，物理，力学，化学等学科中已有的规律和定律，如牛顿运动定律，基尔霍夫电流及电压定律，物质的放射性规律，曲线的切线等，这些都涉及到函数的变化率，可根据相应的规律列出常微分方程。,0、总论与简例,微分方程的解为：,可求出经过1小时温度可以降到30度。,例1：物体在空气中的冷却速度与物体、空气的温差成正比，如果物体在20min内由100度冷却到60度，那么经过多长时间此物体温度达到30度？ 解：牛顿的冷。</p><p>6、微分方程模型,一、数学建模的基本思维过程,转化实际问题 1、对要讨论的问题所涉及的重要特征进行合理的数学刻画（转化），即用数学语言对问题涉及到的重要特征进行表述.,2、寻求的实际问题的文字叙述，利用一些原则或定律，将其转化为数学描述。,解数学问题 用数学工具求解得到的数学问题。,二、微分方程模型,涉及“改变”、“变化”、“增加”、“减少”、“衰变”、“边际”、“速度”、 “运动”、“追赶”、“逃跑”、等等词语的确定性连续问题。,b、微分方程建模的基本手段 微元法 等,a、微分方程建模的对象,c、微分方程建模的基本规。</p><p>7、微分方程模 型,新乡学院数学系,3.1 微分方程的几个简单实例,在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，,本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。,例1 （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。,从图3-1中不难看出，小球所受的合力为mgsin，根据牛顿第二定律可得：,这是理想单摆应满足的运动方程,（3.1。</p><p>8、当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来形态、研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型,在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题,第四章 微分方程建模,动态 问题,描述对象特征随时间(空间)的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段,根据函数及其变化率之间的关系确定函数,微分方程建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设。</p><p>9、数学建模培训 微分方程模型,上海第二工业大学理学院 邢丽 2013年3月,一、什么是微分方程？,最最简单的例子,一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点M( x ,y )处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。,解,因此，所求曲线的方程为,若设曲线方程为 ，,又因曲线满足条件,根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式：,对（1）式两端积分得：,代入（3）得C1,回答什么是微分方程：,建立关于未知变量、 未知变量的导数以及 自变量的方程,二、微分方程的解法,积分方法，分离变量法,可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的解.,。</p><p>10、第四讲 微分方程模型（一）,生活中的数学智慧,微分方程模型,涉及“改变”、“变化”、“增加”、“减少”、“衰变”、“边际”、“速度”、 “运动”、“追赶”、“逃跑” 等等词语的确定性连续问题。,b、微分方程建模的基本手段 微元法等,a、微分方程建模的对象,1、寻找改变量 一般说来微分方程问题都遵循这样的文字等式 变化率（微商）=单位增加量-单位减少量 等式通常是利用已有的原则或定律。,c、微分方程建模的基本规则,2、对问题中的特征进行数学刻画,3、用微元法建立微分方程； 4、确定微分方程的定解条件（初边值条件）； 5、求解。</p><p>11、1线密度 设细棒的质量 与棒的长度 （已经在细棒上建立了 轴）的关系为 则 表示细棒上一小段的平均密度，那么细棒在点 的线密度 可定义为 即,例3 某快餐公司在某地区已有40个营业点，每个营业点平均每天营业额为1万元。经调查发现：每开一个新营业点将会使所有各点的每天的营业额减少200元，试问：该公司总共要开多少个营业点，才能使公司收入最多？,5.1 微分方程的建立,实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的 变化规律 ：y=y(t).,直接求很困难,建立关于未知变量、 未知变量的导数以及 自变量的方程,建立变量能满足 的微分方程,？,哪一。</p><p>12、数学建模培训课（三） 微分方程模型,1. 传染病模型 2. 药物在体内的分布与排除,动态模型,描述对象特征随时间(空间)的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段,根据函数及其变化率之间的关系确定函数,微分方程建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程,5.1 传染病模型,不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清楚这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播机理建立几种模型。,问题,描述传。</p><p>13、微分方程建模中的若干问题, 数模竞赛辅导札记,1. 微分方程建模中假设的 提出 与 修改 问题,“ 商品价格变化的两大特点 ” ： 平衡价格应是 商品供需平衡 的价位； 趋于过程应具有惯性特征：呈现 阻尼震荡 过程特征,建立在 市场经济 下 价格变动模型,具体问题：试图建立一个 数学模型，描绘在健全的市场 经济框架下，商品价格受市场机制调节，偏高或偏低 的价格将会 自动趋于平衡 。,建模目的：建立一个价格随时间演变, 以 阻尼振荡 方式 逐渐趋于理性的 商品供需平衡价格 的模型。,(3) 商品价格的变化速度 p ( t ) 与市场的 过剩需求 D ( 。</p><p>14、第五章 微分方程模型,5.1 传染病模型 5.2 经济增长模型 5.3 正规战与游击战 5.4 药物在体内的分布与排除 5.5 香烟过滤嘴的作用 5.6 人口预测和控制 5.7 烟雾的扩散与消失 5.8 万有引力定律的发现,动态模型,描述对象特征随时间(空间)的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段,根据函数及其变化率之间的关系确定函数,微分方程建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程,5.1 传染病模型,问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来。</p><p>15、数学建模 微分方程模型,关晓飞 同济大学数学科学学院,一、什么是微分方程？,最最简单的例子,引例 一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点M( x ,y )处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。,解,因此，所求曲线的方程为,若设曲线方程为 ，,又因曲线满足条件,根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式：,对（1）式两端积分得：,代入（3）得C1,回答什么是微分方程：,建立关于未知变量、 未知变量的导数以及 自变量的方程,二、微分方程的解法,积分方法，分离变量法,可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的解.,分离变量。</p><p>16、微分方程建模问题中微元法微分方程建模问题中微元法 作者：杨芬 作者单位：常德职业技术学院应用工程系,湖南,常德,415000 刊名： 南昌高专学报 英文刊名：JOURNAL OF NANCHANG JUNIOR COLLEGE 年，卷(期)：2008。</p><p>17、-265- 第十三章第十三章 微分方程建模微分方程建模 微分方程建模是数学建模的重要方法， 因为许多实际问题的数学描述将导致求解微 分方程的定解问题。 把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题， 大体上可以按。</p>