微分方程建模 2

微分方程模型,含有未知函数及其导数的等式称为微分方程常微分方程与偏微分方程、阶、解、通解与特解、定解条件与初值问题、线性方程与非线性方程凡是涉及“增加”、“减少”、“变化”、“速率”、“生长”、“衰减”、“边际”、“运动”等问题往往采用微分方程建模,一、酒后驾驶认定,世界卫生组织的事故调查显示,大约50%60%的交通事故与酒后驾驶有关,酒后驾驶已经被列为车祸致死的主要原因.在中国,每年由于酒后驾车引发的交通事故达数万起;而造成死亡的事故中50%以上都与酒后驾车有关,酒后驾车的危害触目惊心,已经成为交通事故的第一大“杀手”.,酒后驾驶的影响视觉障碍、运动反射神经迟滞、触觉能力降低、判断能力降低、疲劳,2010年8月,十一届全国人大常委会第十六次会议将首次审议刑法修正案（八）草案,醉酒驾驶或被判刑.饮酒驾车是指驾驶人员血液中酒精含量大于或等于20mg/100ml,小于80mg/100ml的驾驶行为.醉酒驾车是指驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等80mg/100ml的驾驶行为_车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验,现有一起交通事故,在事故发生3个小时后,测得司机血液中酒精含量是56mg/100ml,又过两个小时后,测得其酒精含量降为40mg/100ml,试判断:事故发生时,司机是否违反了酒精含量的规定?,设x(t)为时刻t的血液中酒精的浓度,已知,牛顿定律酒精挥发的速度与其浓度成正比,设x(t)为时刻t的血液中酒精的浓度,则有,则,代入得,醉酒驾驶,在凌晨1时警察发现一具尸体,测得尸体温度是29C,当时环境温度是21C.一小时后尸体温度下降到27C,若人的正常体温是37C,估计死者的死亡时间.,牛顿冷却定律温度降低的速度与温差成正比,有一303012(m3)的车间,空气中CO2的容积浓度为0.12%为降低CO2的含量,用一台风量为1500(m3/min)的进风鼓风机通入浓度为0.04%的新鲜空气,假定通入的新鲜空气与车间内原有空气能很快混合均匀,用另一台风量为1500(m3/min)的排风鼓风机排出,问两台鼓风机同时开动10min后,车间中CO2的容积浓度为多少？,设x(t)表示时刻t车间内CO2含量,则有,单位时间改变量=进风量进风浓度时间-排风量排风浓度时间,模型,解(dsolve(Dx-3/5+5*x/36=0,x(0)=12.96,t),10分钟后浓度,例3一个水池有一个进水管A和一个排水管B，水池中有1000kg的盐水。A水管每分钟有浓度为20%的盐水60kg注入,盐水流入后即刻与水池内的盐水充分混合。B水管每分钟有60kg的盐水从水池中流出,试建立水池内盐随时间变化的模型并进行分析,设S(t)表示时刻t池内盐的量,盐的流入量,盐的流出量,则有,分析,结论,S=200是系统的稳定的平衡点(Matlab),t=0:0.01:60;s1=200-100*exp(-0.06*t);s2=200-150*exp(-0.06*t);plot(t,s1,r,Linewidth,2),gridonholdonplot(t,s2,b,Linewidth,2),gridons3=200+100*exp(-0.06*t);s4=200+150*exp(-0.06*t);plot(t,s3,k,Linewidth,2),gridonplot(t,s4,m,Linewidth,2),gridonlegend(S(0)=100,S(0)=50,S(0)=300,S(0)=150),微分方程求解的matlab实现,dsolve(equation,condition,自变量),例求解微分方程,并加以验证,例求解微分方程,满足初值条件y(1)=2e的特解,例求解微分方程,例求解微分方程,(disp(A.x,A.y),例求解微分方程,例求解常系数微分方程组,其中,以前,美国原子能委员会把浓缩的放射性废料装入密封的圆桶里,然后扔到水深为300英尺的海里。,生态学家和科学家提出:圆桶是否会在运输过程中破裂而造成放射性污染？,美国原子能委员会:不会破裂(用实验证明).,工程师提出:圆桶扔到海洋中时是否会因与海底碰撞而破裂？,美国原子能委员会:决不会。,二、放射性核废料处理问题,若圆桶与海底碰撞时速度超过40英尺/秒,就会因碰撞而破裂。,这几位工程师通过大量的实验证明:,一些参数及假设:,假设圆筒下沉时,所受海水的阻力与其速度成正比,即,受力分析,x,y,G,f,o,根据牛顿第二定理,极限速度为：,转换思路:将速度v看成位置y的函数v(y),代入得,其解为,隐函数关系,由近似公式,结论,圆桶与海底的碰撞速度超过40英尺/秒,会因碰撞而破裂。,这一模型科学的论证了美国原子能委员会过去处理核废料的方法是错误的.现在美国原子能委员会条例明确禁止把低浓度的放射性废物抛到海里,改为在废弃的煤矿中修建放置核废料的深井.,我国政府在甘肃、广西等地修建核废料深井,防止放射性污染.,三、最速降线,在地面上不同高度的两个点A和B,并且,不要让其中一个点直接位于另一点的上方.连接这两个点,当然可以作出无限多的不同曲线,从直线、圆的弧线到无数种其他曲线和波浪线.现在设想有一个球沿着一条曲线从A点滚向较低的B点.当然,球滚完全程所需要的时间取决于曲线的形状.找出一条曲线AMB,使球沿这条曲线滚完全程所用的时间最短-John.Bernoulli1696年6月于,“不要草率地作出判断,虽然直线AB的确是连接A、B两点的最短线路,但它却不是所用时间最短的路线.而曲线AMB则是几何学家所熟知的一条曲线,如果在年底之前还没有其他人能够发现这一曲线,我将公布这条曲线的名称.”-John.Bernoulli,“很少有人能够解出我们的问题,即使那些自称通过特殊方法不仅深入探究了几何学的秘密、而且还以一种非凡的方式拓展了几何学的疆域的人。-John.Bernoulli,问题铅直平面内给定不在一条垂直线上的两个点A,B,求连接它们的光滑曲线使质点在重力作用下沿曲线以最短时间从A点运动至B,一般地,又,联立有,由能量守恒定律,得,即,令,从而,积分得,代入初值,而,摆线,挑战结果:John.Bernoulli共收到解法各异的5份答卷John.Bernoulli光学+微积分,最漂亮Jacobi.Bernoulli变分思想Friedrich.LeibnizL.HospitalIsaac.Newton“我从它的利爪上