微积分第二章

微积分第二章Tag内容描述：<p>1、第五节 极限的存在性定理,单调有界数列必有极限.,例1,求数列,的极限.,解,(1)存在性,令,单调性,时,设,时,定理2.14,时,故对一切正整数,有,所以数列递增.,有界性,时,时,设,时,故对一切正整数,有,所以,数列有界.,综上所述,数列极限存在.,(2)求值,设,将,两边求极限,得,即,故,例2,设,时有,且,求,解,由,故,单调,由,故,有界,综上所述,数列极限存在.,且,得,同理,由,设,两边取极限,得:,得,(舍去),例2,设,求,解,(1)求值,假设,则,即,故,因,(2)存在性,对,要使,只需,故极限存在.,取,求数列极限:,1.先按单调有界证极限存在性再按递推公式求,极限值,本方法。</p><p>2、第二章 极限与连续,1,第二章 极限与连续, 2.1 数列的极限, 2.2 函数的极限, 2.3 无穷小量与无穷大量, 2.4 连续函数,第二章 极限与连续,2,一、问题的提出 二、数列极限的定义 三、数列极限的运算法则 四、收敛数列的性质 五、数列收敛的准则,2.1 数列的极限,第二章 极限与连续,3,一、问题的提出,yn 称为数列的通项.,1. 数列对应于数轴上的点列(一动点在数轴上依次取值).,注:,2. 数列可视作整标函数：f: nyn .,例.,第二章 极限与连续,4,庄子言“一尺之棰，日取其半，万世不竭也”,问题一: 观察 当n不断增大时的变化趋势;,观察 当n不断增大时。</p><p>3、第八节 洛必达法则,一、未定式定义,例如,例如,例如,例如,例如,例如,例如,定理,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,二、,证,定义辅助函数,则有,几点说明:,并且可以依次类推,直到求出所要求的极限为止.,例1,解,不是未定式,不能用法则,例2,解,思考: 如何求,( n 为正整数) ?,例3,解,不是未定式,不能用法则,定理2,例4,解,例5,解,不是未定式,不能用法则,例6,解,例6,解,注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.,例7,解,例8. 求,解:,原式,例9. 求。</p><p>4、第五节 函数的微分,一、问题的提出,二、微分的定义,三、可微的条件,四、微分的几何意义,五、微分的求法,六、微分形式的不变性,一、问题的提出,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,再例如,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?,二、微分的定义,定义,(微分的实质),由定义知:,三、可微的条件,定理,证,(1) 必要性,(2) 充分性,例,解,四、微分的几何意义,M,N,）,几何意义:(如图),Q,五、微分的求法,求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.,1.基本初等函数的微分公式。</p><p>5、莫兴德 广西大学 数信学院,Email:moxingdegxu.edu.cn,微 积 分,链接目录,第二章 极限与连续,数列极限 函数极限 变量极限 无穷大与无穷小 极限的运算法则 两个重要的极限 函数的连续性,2.6 两个重要的极限,一、极限存在准则,1.夹逼准则,证,上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,注意:,准则 I和准则 I称为夹逼准则.,证,由夹逼定理得,例,证,由夹逼定理得,例,例1,解,由夹逼定理得,2.单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,例2,证,(舍去),二、两个重要极限,(1),例3,解,(2),定义,类似地,例4,解,例5,解,三、。</p><p>6、莫兴德 广西大学 数信学院,Email:moxingdegxu.edu.cn,微 积 分,链接目录,第二章 极限与连续,数列极限 函数极限 变量极限 无穷大与无穷小 极限的运算法则 两个重要的极限 函数的连续性,2.4 无穷大量与无穷小量,一. 无穷小量,定义1：以0为极限的变量,称为无穷小量（无穷小）。 定义2：0,某个时刻，在此时刻以后， |y| ,恒成立. 则称y在此变化过程为无穷小量（无穷小）。,无穷小量,注意,（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.,对于xx0： 0,0，使得当00,M0，使得当|x|M时, |f(x)|,恒成立.,无穷小量,例如。</p><p>7、第二章 导数与微分 微分学是高等数学的重要组成部分 作为研究分析函数的工具和方法 其主要包含两个重要的基本概念导数与微分 其中导数反映了函数相对于自变量的变化的快慢程度 即变化率问题 而微分刻画了当自变量有。</p><p>8、一 函数的极限 二 数列的极限 三 极限的性质 四 极限分析定义 五 无穷小量 六 无穷大量 第一节极限的定义 第一节极限的定义 图 一 函数的极限 2 数列的极限 二 数列的极限 3 数列极限存在定理 三 极限的性质 四 极限分析定义 六 无穷大量 一 极限运算法则 二 两个重要极限 三 无穷小的比较 第二节极限的运算 一 极限运算法则 根据有界乘无穷小仍是无穷小的性质 得 二 两个重要极限 解。</p><p>9、第二章 习题课,求 导 法 则,基本公式,导 数,高阶导数,一、主要内容,1、导数的定义,定义,2.右导数:,单侧导数,1.左导数:,2、基本导数公式,（常数和基本初等函数的导数公式）,3、求导法则,(1) 函数的和、差、积、商的求导法则,(2) 反函数的求导法则,(3) 复合函数的求导法则,(4) 对数求导法,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数。</p>