微积分-第二章-极限与连续

一 函数的极限 二 数列的极限 三 极限的性质 四 极限分析定义 五 无穷小量 六 无穷大量 第一节极限的定义 第一节极限的定义 图 一 函数的极限 2 数列的极限 二 数列的极限 3 数列极限存在定理 三 极限的性质 四 极限分析定义 六 无穷大量 一 极限运算法则 二 两个重要极限 三 无穷小的比较 第二节极限的运算 一 极限运算法则 根据有界乘无穷小仍是无穷小的性质 得 二 两个重要极限 解 解 三 无穷小的比较 证 思考题 一 函数的连续性定义 二 初等函数的连续性 三 闭区间上连续函数的性质 第三节函数的连续性 连续性是自然界中各种物态连续变化的数学体现 这方面实例可以举出很多 如水的连续流动 身高的连续增长等 第三节函数的连续性 一 函数的连续性定义 1 初等函数的连续性 定理一切初等函数在其定义区间内都是连续的 求初等函数的连续区间就是求其定义区间 关于分段函数的连续性 除按上述结论考虑每一段函数的连续性外 还必须讨论分界点处的连续性 2 利用函数的连续性求极限 二 初等函数的连续性 3 复合函数求极限的方法 定理2闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值 三 闭区间上连续函数的性质 思考题 第二章极限与连续一 本章提要1 基本概念函数的极限 左极限 右极限 数列的极限 无穷小量 无穷大量 等价无穷小 在一点连续 连续函数 间断点 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 第二类间断点 2 基本公式 1 2 代表同一变量 3 基本方法 利用函数的连续性求极限 利用四则运算法则求极限 利用两个重要极限求极限 利用无穷小替换定理求极限 利用分子 分母消去共同的非零公因子求 形式的极限 利用分子 分母同除以自变量的最高次幂求 形式的极限 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限 利用 无穷小与有界函数之积仍为无穷小量 求极限 4 定理左右极限与极限的关系 单调有界原理 夹逼准则 极限的惟一性 极限的保号性 极限的四则运算法则 极限与无穷小的关系 无穷小的运算性质 无穷小的替换定理 无穷小与无穷大的关系 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 二 要点解析问题1如果 存在 那么函数 在点 处是否一定有定义 问题2若 存在 那么 和 是否一定存在 是否一定有 问题3 是否正确 为什么 三 例题精解例1求下列极限 1 2 3 4 5 例2设 问 为何值时 存在 并求此极限值 例3设 问当 为何值时 是 的间断点 是什么间断点 四 主要解题方法1 求函数极限方法利用极限存在的充分必要条件求极限例1求下列函数的极限 1 2 当 为何值时 在 的极限存在 解 1 因为左极限不等于右极限 所以极限不存在 2 由于函数在分段点 处 两边的表达式不同 因此一般要考虑在分段点 处的左极限与右极限 于是 有 为使 存在 必须有 因此 当 1时 存在且 1 小结对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处的极限 要用左右极限来求 只有左右极限存在且相等时极限才存在 否则 极限不存在 2 利用极限运算法则求极限 例2求下列函数的极限 1 2 3 4 解 1 2 当 时 分子 分母极限均为零 呈现 型 不能直接用商的极限法则 可先分解因式 约去使分子分母为零的公因子 再用商的运算法则 原式 3 当 时 的极限均不存在 式 呈现 型 不能直接用 差的极限等于极限的差 的运算法则 可先进行通分化简 再用商的运算法则 即原式 4 当 时 分子分母均无极限 呈现 形式 需分子分母同时除以 将无穷大的 约去 再用法则求原式 小结 应用极限运算法则求极限时 必须注意每项极限都存在 对于除法 分母极限不为零 才能适用 II 求函数极限时 经常出现 等情况 都不能直接运用极限运算法则 必须对原式进行恒等变换 化简 然后再求极限 常使用的有以下几种方法 对于 型 往往需要先通分 化简 再求极限 对于无理分式 分子 分母有理化 消去公因式 再求极限 对分子 分母进行因式分解 再求极限 对于当 时的 型 可将分子分母同时除以分母的最高次幂 然后再求极限 3 利用无穷小的性质求极限 例3求下列函数的极限 1 2 解 1 因为 而 求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决 因为 所以当 时 是无穷小量 因而它的倒数是无穷大量 即 2 不能直接运用极限运算法则 因为当 时分子 极限不存在 但 是有界函数 即 而 因此当 时 为无穷小量 根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理 即得 小结利用无穷小与无穷大的关系 可求一类函数的极限 分母极限为零 而分子极限存在的函数极限 利用有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小定理可得一类函数的极限 有界量与无穷小之积的函数极限 4 利用两个重要极限求函数的极限 例4求下列函数的极限 1 2 解 1 分子先用和差化积公式变形 然后再用重要极限公式求极限原式 2 解一原式 解二原式 小结 利用 求极限时 函数的特点是 型 满足 的形式 其中 为同一变量 用 求极限时 函数的特点 型幂指函数 其形式为 型 为无穷小量 而指数为无穷大 两者恰好互为倒数 用两个重要极限公式求极限时 往往用三角公式或代数公式进行恒等变形或作变量代换 使之成为重要极限的标准形式 5 利用等价无穷小代换求极限 常用等价无穷小有 当 时 例5求下列函数的极限 1 2 解 1 2 小结利用等价无穷小可代换整个分子或分母 也可代换分子或分母中的因式 但当分子或分母为多项式时 一般不能代换其中一项 否则会出错 如上题 即得一错误结果 6 利用函数的连续