无穷大量与无穷小量

无穷大量与无穷小量Tag内容描述：<p>1、微积分 微 积 分 微积分 第二章 极限与连续 数列极限 函数极限 变量极限 无穷大与无穷小 极限的运算法则 两个重要的极限 函数的连续性 微积分 2.4 无穷大量与无穷小量 一. 无穷小量 定义1：以0为极限的变量,称为无穷小量（无穷小 ）。 定义2：0,某个时刻，在此时刻以后， |y|0,0，使得当00,M0，使得当|x|M时, |f(x)|0,某个时刻，在此时刻以后， |y|E,恒成立. 则称y在此变化过程为无穷大量（无穷大）。 记为：limy= 同理可定义： 正无穷大 limy=+负无穷大 limy=- 微积分 无穷大量 对于xx0： E0,0，使得当0E,恒成立 . 对于x： E0,M0，使得当。</p><p>2、二、 无穷大 三 、 无穷小的比较 一、 无穷小 第四节 无穷小与无穷大 是 一、 无穷小 定义1 . 若 时 , 函数 则称函数 例如 : 函数 是时的无穷小; 函数 时的无穷小; 为 时的无穷小 . 注：此结论对数列也成立 是数列 时的无穷小; 说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 时 , 函数(或 ) 则称函数为 定义1. 若 (或 )时的无穷小 . 其中 为 时的无穷小量 . 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) 证: 对自变量的其它变化过程类似可证 . 定理2. 有限个无穷小的和还是无穷小 . Note: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， 2、无穷小的性。</p><p>3、3.5 无穷小量与无穷大量,本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首先来介绍无穷小。,一、无穷小,在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。 对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义,1.定义:,极限为零的变量称为无穷小.,例如,注意,1.称函数为无穷小，必须指明自变量的 变化过程；,2.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,3.零是可以作为无穷小的唯一的数.,2.无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,意义,1.将。</p><p>4、一、无穷小量,1、定义:,极限为零的变量称为无穷小量.,5 无穷小量与无穷大量,设f在某U(x0)内有定义,若 则称f为当xx0时的无穷小量。,若函数g在某U(x0)内有界，则称g为xx0时的有界量。,类似可定义xx0+, xx0-,x+, x以及x时的无穷小量与有界量。,任何无穷小量都是有界量。,例1,注意,（1）无穷小是一种变量,不能与很小的数混淆;,（2）零是可以作为无穷小的唯一的常数.,问：无穷小是否为很小的数？,很小的数是否为无穷小？,二、无穷小量与极限的关系,定理1,意义：,（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小量);,三、无穷小量的性质,性质1 有。</p><p>5、4无穷小与无穷大的阶的比较,一、无穷小,定义7.1,例,例,观察下列无穷小收敛到零的速度：,不同的无穷小收敛到零的速度不同，如何描述？,定义7.2 (无穷小量阶的比较),定义7.3 (无穷小量阶的量化比较),例1,解,例2,解,例3 确定下列无穷小的阶,2阶,1阶,二、无穷大,定义7.4,记作,特别：,注意：无穷大量和无界量的区别.,不是无穷大,无界!,证,例 4,定义7.5 (无穷小量阶的比较),定义7.6 (无穷大量阶的量化比较),例4,2阶无穷大,2阶无穷大,（1）,（2）,判断下列无穷大的阶,三、 表示与性质,定义7.7：,（2）,（1）,定义7.8：,（2）,（1）,（3）,四、等。</p><p>6、第四节 无穷小量与无穷大量,内容提要 无穷小量与无穷大量. 教学要求 1. 理解无穷小量与无穷大量的概念; 2. 了解无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与函数 极限的关系.,一、无穷小,1.定义:,极限为零的变量称为无穷小.,例如,注意,1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,2.零是可以作为无穷小的唯一的数.,2.无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,意义,1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,3.无穷小的运算性质:,定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,证,注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,定理3 有界函数。</p><p>7、Def ：,无穷小量的比较,4. 无穷小量与无穷大量的阶,无穷大量的比较,小结,1、主要内容:,两个定义;四个定理;三个推论.,2、几点注意:,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；,（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；,（3） 无界变量未必是无穷大.,3、无穷小的比较,反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较.,4、等价无穷小的代换:,求极限的又一种方法, 注意适用条件.,高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶。</p><p>8、第七节 无穷小量与无穷大量,一.无穷小量,1.定义,如果在某变化过程中,变量,的,极限为零,则称,为无穷小量.,注,(1)七种变化过程、数列及一般函数,都成立.,(2)谈无穷小量时指明自变量变化过程.,(3)区分无穷小量与一个非常小的数.,(4),是无穷小量.,(5)精确性定义.,2.性质,必要性,因,所以,故,为无穷小量,记为,则,充分性,由,得,定理2.17,证,此性质是把极限和无穷小量,联系起来的一个性质,如有涉及,极限与无穷小量的题型，,想到这个性质.,郑重声明,应首先,有限个无穷小量的和、差、积,注,(1)本性质只对有限个无穷小量成立.,补充,无穷小量与极限不。</p><p>9、3-5 无穷小量与无穷大量的比较,一. 无穷小量的比较,二. 等价无穷小量的应用,若,则称 是比 高阶的无穷小,若,若,若,或,记作,则称 是比 低阶的无穷小;,则称 是 的同阶无穷小;,则称 是 的等价无穷小,记作,定义,一、无穷小量的比较,时,又如 ，,故,时,是关于 x 的二阶无穷小,且,例如 , 当,时,证:,例1 证明: 当,常用等价无穷小 :,例2 求,解:,二、等价无穷小量的应用。</p><p>10、高等数学第二章,极限与连续,第四节 无穷大量与无穷小量,一、无穷大量,二、无穷小量,三、无穷小量与无穷大量的关系,四、无穷小量的阶,一、无穷大量,定义2.8,如果对于任意给定的正数E，变量y在其变,化过程中，总有那么一个时刻，在那个时刻以后，,不等式,恒成立，,记作,2.无穷大量是变量,不能与很大的数混淆，,注意：,1.无穷大量是极限为的变量；,它是描述函数的某种状态；,则称变量y是无穷大量，或称变量y趋于无穷大,例如，,二、无穷小量,定义2.9,以0为极限的变量，称为无穷小量。,即，对于任意给定的正数，在变量y的变化过程中，,总有那么。</p><p>11、莫兴德 广西大学 数信学院,Email:moxingdegxu.edu.cn,微 积 分,链接目录,第二章 极限与连续,数列极限 函数极限 变量极限 无穷大与无穷小 极限的运算法则 两个重要的极限 函数的连续性,2.4 无穷大量与无穷小量,一. 无穷小量,定义1：以0为极限的变量,称为无穷小量（无穷小）。 定义2：0,某个时刻，在此时刻以后， |y| ,恒成立. 则称y在此变化过程为无穷小量（无穷小）。,无穷小量,注意,（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.,对于xx0： 0,0，使得当00,M0，使得当|x|M时, |f(x)|,恒成立.,无穷小量,例如。</p><p>12、3.5 无穷小量与无穷大量,本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首先来介绍无穷小。,一、无穷小,在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。 对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义,1.定义:,极限为零的变量称为无穷小.,例如,注意,1.称函数为无穷小，必须指明自变量的 变化过程；,2.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,3.零是可以作为无穷小的唯一的数.,2.无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,意义,1.将。</p><p>13、无穷小量和无穷大量 1 注意 无穷小量是以0为极限的变量 无穷小量不一定是零 零作为函数来讲是无穷小量 讲一个函数是无穷小量 必须指出自变量的变化趋向 任何非零常数 不论其绝对值如何小 都不是无穷小量 因为非零常。</p><p>14、2.4无穷大量与无穷小量,返回,下页,2,（一） 无穷大量,绝对值无限增大的变量称为无穷大量.,3,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,可以证明,4,注意,1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,5,（二）无穷小量,定义2.9:,以0为极限的变量，称为无穷小量.,例如,6,注意,1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,2.零是可以作为。</p><p>15、第5次课,第1章 函数与极限,第5节 无穷小量与无穷大量,二、 无穷大量,三 、 无穷小量的比较,一、 无穷小量,当,一、 无穷小量,定义1 . 若,时 , 函数,则称函数,例如 :,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,函数,当,为,时的无穷小量 .,时为无穷小.,说明:,除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !,性质1：,无穷小量与无穷小量的和、差、积仍为无穷小量.,性质2：,无穷小量。</p><p>16、2.4 无穷大量与无穷小量,一、无穷大量与无穷小量,二、无穷小量与无穷大量阶的比较,定义2.4,一、无穷大量与无穷小量,例如：,定义2.5,例如：,关于无穷小量与无穷大量注意以下几个问题：,(2)无穷小量(无穷大量)是相对于自变量的某一变化过程而言的。,(1)无穷小量与无穷大量的定义同样适用于数列。,(3)无穷小量(无穷大量)不是指很小(很大)的数而是指 一个变量。实数中仅有是无穷小量。</p><p>17、第一章 函数与极限,1.6 无穷大量与无穷小量 阶的比较,本节内容,无穷大量与无穷小量的性质 阶的比较,1.6 无穷大量与无穷小量阶的比较,一、 无穷大量与无穷小量的性质,1.6 无穷大量与无穷小量阶的比较,1.6 无穷大量与无穷小量阶的比较,二、 阶的比较,都是无穷小,注意到,但,可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .,1.6 无穷大量与无穷小量阶的比较,定义.,若,则称 是比 高阶。</p><p>18、2.4 无穷大量与无穷小量,一、无穷大量与无穷小量,二、无穷小量与无穷大量阶的比较,定义2.4,一、无穷大量与无穷小量,例如：,定义2.5,例如：,关于无穷小量与无穷大量注意以下几个问题：,(2)无穷小量(无穷大量)是相对于自变量的某一变化过程而言的。,(1)无穷小量与无穷大量的定义同样适用于数列。,(3)无穷小量(无穷大量)不是指很小(很大)的数而是指 一个变量。实数中仅有是无穷小量。</p>