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二、 无穷大 三 、 无穷小的比较 一、 无穷小 第四节 无穷小与无穷大 是 一、 无穷小 定义1 . 若 时 , 函数 则称函数 例如 : 函数 是时的无穷小; 函数 时的无穷小; 为 时的无穷小 . 注：此结论对数列也成立 是数列 时的无穷小; 说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 时 , 函数(或 ) 则称函数为 定义1. 若 (或 )时的无穷小 . 其中 为 时的无穷小量 . 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) 证: 对自变量的其它变化过程类似可证 . 定理2. 有限个无穷小的和还是无穷小 . Note: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， 2、无穷小的性质 定理3 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 又设即当 时, 有 取则当时 , 就有 故即是时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 例1. 求 解: 利用定理 2 可知 二、 无穷大(Infinity) 二、 无穷大(Infinity) 定义2 . 若任给 M 0 , 一切满足不等式 的 x , 总有 则称函数当时为无穷大, 使对 若在定义中将 式改为 则记作 (正数 X ) , 记作 总存在 例 . 证明 证: 任给正数 M ,要使 即 只要取则对满足的一切 x , 有 所以 若 则直线 为曲线的铅直渐近线 . 渐近线 Note: Remark: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 找一个数列且 但不是无穷大 . 判断函数不是无穷大的方法: 2. 函数无穷大与数列无穷大的关系 当x0+时不是无穷大. 例如, 函数 3. 无穷大 与无界 的关系 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 在区间(0, 1上无界, 但当x0+时它不是无穷大. 例如, 函数 无穷小与无穷大的关系 若为无穷大,为无穷小 ; 若为无穷小, 且 则为无穷大. 则 (自证) 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理4. 在自变量的同一变化过程中, Note: 都是无穷小,引例 .但 可见无穷小趋于 0 的速度是不一样的 . 三、 无穷小的比较 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 定义3. 若则称 是比 高阶的无穷小, 若 若 若 若 或 设是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称 是比 低阶的无穷小; 则称 是 的同阶无穷小; 则称 是关于 的 k 阶无穷小; 则称 是 的等价无穷小, 记作 定理5. 证: 即 即 例如, 故 定理6 . 设 且存在 , 则 证: 例如, Conclusions 1
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