向量范数和矩阵范数

向量范数和矩阵范数Tag内容描述：<p>1、第五章 线性方程组直接解法 向量与矩阵范数 矩阵条件数 1 内容提要 n 矩阵基础 n Gauss 消去法 n 矩阵三角分解 n 向量与矩阵范数 n 误差分析 2 本讲内容 l 定义、常见向量范数、性质 n 向量范数 l 定义、常见矩阵范数、性质 n 矩阵范数 n 矩阵条件数 3 向量范数 定义：设函数 f : Rn R，若 f 满足 (1) f(x) 0， xRn , 等号当且仅当 x = 0 时成立 （正定 性） (2) f(x) = | f(x) ， xRn , R （齐次性） (3) f(x+y) f(x) + f(y) （三角不等式） 则称 f 为 Rn 上的（向量）范数，通常记为 | | l 向量范数 l 向量内积（数量积） l 定义与性质。</p><p>2、第二章 矩阵分析 第一章 矩阵分析 1. 1 范数 1.4 摄动分析及条件数 本章要点 本章作业2, 3, 4, 6 P51. 范数的概念及其计算 1. 1 范数 “范数”是对向量和矩阵的一种度量,实际上是 二维和三维向量长度概念的一种推广 数域: 数的集合,对加法和乘法封闭 线性空间: 可简化为向量的集合,对向量的加法和 数量乘法封闭, 二维向量和三维向量都可以度量其大小和长度 高维向量的“长度“能否定义呢? 也称为向量空间 定义1. 一、向量和矩阵的范数 -(1) -(2) -(3) 显然 并且由于 -(4) 例1.求下列向量的各种常用范数 解: 定义2:设xk是 Rn上的向量序列，。</p><p>3、第二章 范数理论 2.1 向量范数 定义：若对任意 都有一个实数 与 之对应，且满足： （1）非负性：当 只 有且仅有当 （2） 齐次性： 为任 意数。 （3） 三角不等式：对任意 ， 都有 则称 为 上向量 的范数，简称向量范数 。 * 例： 在 维线性空间 中，对于任意的向 量 定义 * 证明： 都是 上的范数，并且还有 * 引理 设 均为非负实数，则总有 Holder不等式：设 * 证：令 ， ，其中 代入上述不等式，则有 * Minkowski不等式：设 则对任何 都有 * 证明 以 代入下式 则 对上式由Holder不等式可得 * 此不等式两端同除以 ，根据 可得 * 几种常用。</p><p>4、5.2 向量和矩阵的范数 5.2.1 向量的范数,收敛性-向量序列收敛的充分必要条件,5.2.2 矩阵的范数,矩阵范数的性质,常用的矩阵范数有行（无穷）范数和列（一）范数。,例如,常用的矩阵范数,设,常用的矩阵范数,矩阵的收敛,矩阵的收敛,谱半径,谱半径的性质。</p><p>5、哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团队,Department of Mathematics, College of Sciences,书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取,使用教材, 矩阵论教程国防工业出版社 2012,其他辅导类参考书（自选）,课 程 要 求,作业要求,矩阵论网站,http:/matrix.hrbeu.edu.cn/,授课预计 (10学时),第二章 内积空间与赋范线性空间,欧氏空间与酉 空 间,标准正交基与向量的正交化,正交子空间,酉(正交)变换与正交投影,向量范数与矩阵范数,向量范数与矩阵范数的相容性,教 学 内 容 和 基 本 要 求,2, 理解内积空间的标准正交基，会用施密特正交化方法构。</p><p>6、第五章向量范数和矩阵范数,对于实数和复数，由于定义了它们的绝对值或模，这样我们就可以用这个度量来表示它们的大小（几何上就是长度），进而可以考察两个实数或复数的距离。,对于维线性空间，定义了内积以后，向量就有了长度（大小）、角度、距离等度量概念，这显然是3维现实空间中相应概念的推广。利用公理化的方法，可以进一步把向量长度的概念推广到范数。,1、向量范数,一、从向量的长度或模谈起,，当且仅当时，等号成。</p><p>7、定义3.1 设 Rn是n维向量空间,如果对任意xRn,都有一个实数与之对应,且满足如下三个条件:,(1)正定性: |x|0,且|x|=0 x = 0 ;,(2)齐次性: 为任意实数,(3)三角不等式: ( y Rn ),则称|x|为向量x的范数 。,向量范数是我们熟悉的距离概念的一种自然的推广。,常用的范数:,Matlab函数: norm(x,p)。特别的, norm。</p>