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第二章 矩阵分析 第一章 矩阵分析 1. 1 范数 1.4 摄动分析及条件数 本章要点 本章作业2, 3, 4, 6 P51. 范数的概念及其计算 1. 1 范数 “范数”是对向量和矩阵的一种度量,实际上是 二维和三维向量长度概念的一种推广 数域: 数的集合,对加法和乘法封闭 线性空间: 可简化为向量的集合,对向量的加法和 数量乘法封闭, 二维向量和三维向量都可以度量其大小和长度 高维向量的“长度“能否定义呢? 也称为向量空间 定义1. 一、向量和矩阵的范数 -(1) -(2) -(3) 显然 并且由于 -(4) 例1.求下列向量的各种常用范数 解: 定义2:设xk是 Rn上的向量序列， 令 xk=(xk1,xk2,，xkn), k=1,2， ., 又设x*（x1*，x2*，xn*)是 Rn上的向量. 如果lim xki= xi对所有的i=1,2,，n成立， 那么,称向量x*是向量序列xk的极限 ， 若一个向量序列有极限,称这个向量序列是 收敛的. 定义2. 例2. 不难验证其满足定义2的4个条件 称为Frobenius范数,简称F-范数 而且可以验证 tr为矩阵的迹 -(5) -(6) 类似向量的 2-范数 例5: 设A(aij)M. 定义 证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数. 证明：设 从而 定义3. -(7) 简称为从属范数或算子范数 显然，由定义不难推出 定义4. 由(8)式,可知算子范数和其对应的向量范数是相容的 -(8) -(9) 根据向量的常用范数可以得到常用的矩阵算子范数 -(10) -(11) -(12) 例4.求矩阵A的各种常用范数 解: 由于 特征方程为 容易计算计算较复杂 对矩阵元素的 变化比较敏感 不是从属范数 较少使用 使用最广泛 性质较好 定义5. 而 因此 -(13) 显然 即 所以 定理2. -(14) 定理1. 定义6. 1.4 摄动分析及条件数 即有 -(15) -(16) -(17) -(18) 所以 又因为 可得 (16)和(17)两式相乘,得 相对误差 (18)式表明,由常数项产生的误差,最多可将解的 相对误差放大 倍 在上式能直接使用范数吗？ -(19) 如果假设 则由定理1.,可知 且 (19)式化为 -(20) -(21) -(22) 定义7. -(23) 显然 即任意方阵的条件数必不小于1 根据算子范数的不同
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