线性方程组解的结构.

线性方程组解的结构.Tag内容描述：<p>1、第3章 线性方程组,二、齐次线性方程组解的结构,三、非齐次线性方程组解的结构,下页,一、线性方程组的一般表示形式,高斯消元法与矩阵的初等行变换,基本概念,1.1 线性方程组的一般表示形式,含有m个方程n个未知量的线性方程组一般形式为,若b=(b1, b2, bm)o ，则称(1)为非齐次线性方程组； 若b=(b1, b2, bm)o ，即,(2),则称(2)为齐次线性方程组, 或(1) 的导出组.,下页,第1节 高斯消元法,(1),代数方程,可用矩阵形式表示为 AX= b ,对应齐次方程组(2)可用矩阵形式表示为 AX=o.,其中，,下页,含有m个方程n个未知量的线性方程组,(1),矩阵方程,可用向。</p><p>2、-1-,第四章,线性方程组的解的结构,4.4 线性方程组在几何中的应用,4.3 非齐次线性方程组解的结构,4.2 齐次线性方程组解的结构,4.1 线性方程组解的存在性定理,-2-,4.1 线性方程组解的存在性定理,在前面的章节学习中，我们已经研究的关于线性 方程组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时， 深入研究解的性质和解的结构。,-3-,(4-1),(矩阵形式),(向量形式),(原始形式),-4-,非齐次方程组解的存在性定理,对于非齐次方程组,(4-1),向量 可由A的列向量组,线性表示。,-5-,的系数行列式,Cramer法则,则方程组有唯一解,且解为:,(4-2),-6-,齐次方程。</p><p>3、3.6线性方程组解的结构,一、齐次线性方程组解的结构,二、一般线性方程组解的结构,一、齐次线性方程组解的结构,（1）,1解的性质,性质1 （1）的两个解的和还是（1）的解；,性质2 （1）的一个解的倍数还是（1）的解；,性质3 （1）的解的任一线性组合还是（1）的解,则称 为（1）的一个基础解系,2 解空间,定义 设W为齐次线性方程组（1）的全体向量，则,即W关于解的线性运算封闭，所以W 是一个向量空间称之为齐次线性方程组（1）的解空间,3 基础解系,2)（1）的任一解向量 可由线性表出,1) 线性无关；,定义 齐次线性方程组（1）的一组解 ，若满足。</p><p>4、2.4 非齐次线性方程组解的结构,非齐次线性方程组,其中,令,则方程组（*）可表为,结论：,方程组（*）有解,可由 线性表出, ,秩 = 秩 ,秩(A) = 秩( )，这里 = A , b,定理 非齐次线性方程组 有解的充分必 要条件是,秩 = 秩( ),推论 当非齐次线性方程组 有解时，解 无穷多的充分必要条件是,秩(A) A的列数 = 未知数个数,非齐次方程组（*）：AX = b,齐次方程组（*）：AX = 0,称（*）为（*）的导出方程组。,性质,(1) 设 是非齐次线性方程组 AX = b的任 意两个解向量，则 是其导出方程AX=0的解 向量；,(2) 设 是非齐次线性方程组 AX = b的任一个 解。</p><p>5、第4章 向量组与线性方程组的解的结构,4.1向量组及其线性组合,4.2向量组的线性相关性,4.3向量组的秩,4.4 线性方程组的解的结构,即 矩阵,4.1向量组及其线性组合,4.1.1,维向量的概念,1 维向量的定义,个有次序的数,维向量，这,个数称为该向量的分量，第,个数,称为第,个分量（或第,个坐标）,行向量,列向量,即 矩阵,2零向量,3负向量,4向量的相等,5向量组,同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合称 为向量组,4.1.2,维向量的线性运算,1加法与数乘,为任意实 数，则,2加法与数乘的运算规律（略）,注:利用向量的运算,对于方程组,则,4.1.3 向。</p><p>6、线性方程组的解结构,齐次线性方程组的解结构 非齐次线性方程组的解结构, ,齐次线性方程组的解结构,例1.判别方程组,有无非零解,若有,写出其通解.,解 在MATLAB中输入该方程组的系数矩阵A并将它化为最简行阶梯形矩阵,所用命令如下:, A=1 2 -1;2 5 2;1 4 7;1 3 3; rref(A),运行结果为,ans = 1 0 -9 0 1 4 0 0 0 0 0 0,由阶梯形矩阵可知R(A)=23,所以齐次线性方程组有非零解,即有无穷多个解.,该齐次线性方程组通解的参数形式为,其中k为任意实数.,例2.用基础解系表示齐次线性方程组,的通解.,解 所用MATLAB命令及运行结果为, A=1 1 1 1 1;3 2 1 1 。</p><p>7、一、向量空间的基与维数,定义10 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足, 4.4 齐次线性方程组解的结构,（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基,说明,（3）若向量组 是向量空间 的一 个基，则 可表示为,（2）若把向量空间 看作向量组，那末 的基 就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的 秩.,解向量的概念,设有齐次线性方程组,若记,（1）,二、齐次线性方程组的解空间,则上述方程组（1）可写成向量方程,若,称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解,齐次线性方程组解的性质,证明,（2）若 为 的解， 为实数，。</p>