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线性方程组的解结构,齐次线性方程组的解结构 非齐次线性方程组的解结构, ,齐次线性方程组的解结构,例1.判别方程组,有无非零解,若有,写出其通解.,解 在MATLAB中输入该方程组的系数矩阵A并将它化为最简行阶梯形矩阵,所用命令如下:, A=1 2 -1;2 5 2;1 4 7;1 3 3; rref(A),运行结果为,ans = 1 0 -9 0 1 4 0 0 0 0 0 0,由阶梯形矩阵可知R(A)=23,所以齐次线性方程组有非零解,即有无穷多个解.,该齐次线性方程组通解的参数形式为,其中k为任意实数.,例2.用基础解系表示齐次线性方程组,的通解.,解 所用MATLAB命令及运行结果为, A=1 1 1 1 1;3 2 1 1 -3;0 1 2 2 6;5 4 3 3 -1; format rat B=null(A , r) %求基础解系,B = 1 1 5 -2 -2 -6 1 0 0 0 1 0 0 0 1, syms k1 k2 k3 %定义符号参数 X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)+k3*B(:,3),X= k1+k2+5*k3 -2*k1-2k2-6k3 k1 k2 k3,即,为方程组的通解,其中k1,k2,k3为任意实数.,非齐次线性方程组的解结构,例3.求解方程组,解 在MATLAB中输入系数矩阵及常数列向量,并检验系数矩阵是否逆,所用命令及结果如下, A=2 1 1;3 1 2;1 -1 0; b=3 3 -1 ; det(A) %检验A是否可逆 ans = 2,系数矩阵行列式值等于2,是可逆的,则可以用矩阵相除来求解., X=Ab X= 1 2 -1,即是原方程组的解.,例4.求解方程组,解 先用MATLAB函数null求出对应的齐次线性方程组的基础解系,再利用其系数矩阵的上、下三角阵求出方程组的一个特解,这样即可得到该方程组的通解,程序如下:, A=1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8; b=1 4 0 ; format rat C=null(A , r); %求基础解系 L,U=lu(A); %A=LU,L为上三角阵,U为下三角阵 X0= U(Lb) %用LU求出一个齐次方程的特解, syms k1 k2 X=k1*C(:,1)+k2*C(:,2)+X0,运行结果为,X0 = 0 0 -8/15 3/5,X = 3/2*k1-3/4*k2 3/2*
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