电磁场与电磁波试题及答案VIP

11写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。2答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为，3分（表明了电磁场和它们的源之间的全部,0,DBHJEDTT关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。1写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。2时变场的一般边界条件、。或矢量式、ND0TE2TSHJ20NB2ND、20NE2SHJ2B1写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。2答矢量位；动态矢量位或。库仑规范与洛仑,0AAETET兹规范的作用都是限制的散度，从而使的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规A范用在时变场。1简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义2是矢量A穿过闭合曲面S的通量或发散量。若0，流出S面的通量大于SD流入的通量，即通量由S面内向外扩散，说明S面内有正源若0，则流入S面的通量大于流出的通量，即通量向S面内汇集，说明S面内有负源。若0，则流入S面的通量等于流出的通量，说明S面内无源。1证明位置矢量的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。XYZRE2证明在直角坐标系里计算，则有XYZXYZREEE23XYZ若在球坐标系里计算，则由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。231RRR1在直角坐标系证明0A20YXXXZZXYZXYZXXZZAAEEEEYAA1简述亥姆霍兹定理并举例说明。2亥姆霍兹定理研究一个矢量场，必须研究它的散度和旋度，才能确定该矢量场的性质。例静电场有源0SDDQ0D无旋LEE1已知，证明。RRRRE2证明XYZXYZEEER1试写出一般电流连续性方程的积分与微分形式，恒定电流的呢2一般电流；/0,/JDSQTJT恒定电流,1电偶极子在匀强电场中会受作怎样的运动在非匀强电场中呢2电偶极子在匀强电场中受一个力矩作用，发生转动；非匀强电场中，不仅受一个力矩作用，发生转动，还要受力的作用，使电偶极子中心发生平动，移向电场强的方向。1试写出静电场基本方程的积分与微分形式。32答静电场基本方程的积分形式，01SEDQ0LED微分形式,D1试写出静电场基本方程的微分形式，并说明其物理意义。2静电场基本方程微分形式，说明激发静电场的源是空间电荷的分布,0（或是激发静电场的源是是电荷的分布）。1试说明导体处于静电平衡时特性。2答导体处于静电平衡时特性有导体内；0E导体是等位体（导体表面是等位面）；导体内无电荷，电荷分布在导体的表面孤立导体，曲率；导体表面附近电场强度垂直于表面，且。0/EN1试写出两种介质分界面静电场的边界条件。2答在界面上D的法向量连续或（）；E的切向分量连续12ND1212或（）12TTE12N1试写出1为理想导体，二为理想介质分界面静电场的边界条件。2在界面上D的法向量或（）；E的切向分量或（2N1220T）1201试写出电位函数表示的两种介质分界面静电场的边界条件。2答电位函数表示的两种介质分界面静电场的边界条件为，1212N1试推导静电场的泊松方程。2解由，其中，D,E为常数E泊松方程21简述唯一性定理，并说明其物理意义2对于某一空间区域V，边界面为S，满足4，给定（对导体给定Q）则解是唯一的。只要满足唯一性定理中的条件，解是唯一的，可以用能想到的最简便的方法求解（直接求解法、镜像法、分离变量法），还可以由经验先写出试探解，只要满足给定的边界条件，也是唯一解。不满足唯一性定理中的条件无解或有多解。1试写出恒定电场的边界条件。2答恒定电场的边界条件为，1分离变量法的基本步骤有哪些2答具体步骤是1、先假定待求的位函数由两个或三个各自仅含有一个坐标变量的乘积所组成。2、把假定的函数代入拉氏方程，使原来的偏微分方程转换为两个或三个常微分方程。解这些方程，并利用给定的边界条件决定其中待定常数和函数后，最终即可解得待求的位函数。1叙述什么是镜像法其关键和理论依据各是什么2答镜像法是用等效的镜像电荷代替原来场问题的边界，其关键是确定镜像电荷的大小和位置，理论依据是唯一性定理。7、试题关键字恒定磁场的基本方程1试写出真空中恒定磁场的基本方程的积分与微分形式，并说明其物理意义。2答真空中恒定磁场的基本方程的积分与微分形式分别为0SLBDHI0BHJ说明恒定磁场是一个无散有旋场，电流是激发恒定磁场的源。1试写出恒定磁场的边界条件，并说明其物理意义。2答恒定磁场的边界条件为,，说明磁场在不同的边界条件12SNJ120NB下磁场强度的切向分量是不连续的，但是磁感应强强度的法向分量是连续。1一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为。证明垂直于平面的Z轴上0处的电场强度E中，有一半是有平面上半径为03Z的圆内的电荷产生的。2证明半径为R、电荷线密度为DLR的带电细圆环在Z轴上0处的电场强度为5023DDZREE故整个导电带电面在轴上0处的电场强度为02321000D2ZZZRREEE而半径为03的圆内的电荷产生在轴上0处的电场强度为0033232100D142ZZZRREEEEE1由矢量位的表示式0D4RJRAR证明磁感应强度的积分公式03D4RJRBR并证明02答0D4RJRBRAR001D4RJR0033D4RJRBA1由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。2解点电荷Q产生的电场满足麦克斯韦方程0E和D由D得D6据散度定理，上式即为DSQDS利用球对称性，得24RQE故得点电荷的电场表示式24RQEE由于0，可取，则得2D即得泊松方程21写出在空气和的理想磁介质之间分界面上的边界条件。2解空气和理想导体分界面的边界条件为0SNEHJ根据电磁对偶原理，采用以下对偶形式SMSE即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件0MSNHEJ式中，JMS为表面磁流密度。1写出麦克斯韦方程组（在静止媒质中）的积分形式与微分形式。27LSDHDJDSTDHJTLSBETBET0SDS0SDQD1试写媒质1为理想介质2为理想导体分界面时变场的边界条件。2答边界条件为或120TTE10NE或1TSHJ1SHJ或120NB10NB或1NSD1SD1试写出理想介质在无源区的麦克斯韦方程组的复数形式。2答HJE0BD1试写出波的极化方式的分类，并说明它们各自有什么样的特点。2答波的极化方式的分为圆极化，直线极化，椭圆极化三种。圆极化的特点，且的相位差为，XMYE,XMYE2直线极化的特点的相位差为相位相差,XY，0,8椭圆极化的特点，且的相位差为或，XMYE,XMYE20,1能流密度矢量（坡印廷矢量）是怎样定义的坡印廷定理是怎样描述的S2答能流密度矢量（坡印廷矢量）定义为单位时间内穿过与能量流动方向垂直的单位截面的能量。坡印廷定理的表达式为或EMSDEHSWPT，反映了电磁场中能量的守恒和转换关系。2221SDEHST1试简要说明导电媒质中的电磁波具有什么样的性质（设媒质无限大）2答导电媒质中的电磁波性质有电场和磁场垂直；振幅沿传播方向衰减；电场和磁场不同相；以平面波形式传播。2时变场的一般边界条件、。写成矢量12ND12TTE12TTSHJ12NB式、一样给5分12ND120E12SJ120N1写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。2答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除,0,DBHJEDTT了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。1写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件2时变场的一般边界条件、。写成矢量式、ND0TE2TSHJ20NB2ND、一样给5分20NE2SHJ2B1写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。92答矢量位；动态矢量位或。库仑规范与洛,0BAAETET仑兹规范的作用都是限制的散度，从而使的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹A规范用在时变场。1描述天线特性的参数有哪些2答描述天线的特性能数有辐射场强、方向性及它的辐射功率和效率。1天线辐射的远区场有什么特点2答天线的远区场的电场与磁场都是与1/R成正比，并且它们同相，它们在空间相互垂直，其比值即为媒质的本征阻抗，有能量向外辐射。1真空中有一导体球A，内有两个介质为空气的球形空腔B和C。其中心处分别放置点电荷和，试求空间的电场分布。2对于A球内除B、C空腔以外的地区，由导体的性质可知其内场强为零。对A球之外，由于在A球表面均匀分布的电荷，所以A球以外区域（方向均沿球的径向）对于A内的B、C空腔内，由于导体的屏蔽作用则为B内的点到B球心的距离为C内的点到C球心的距离1如图所示，有一线密度的无限大电流薄片置于平面上，周围媒质为空气。试求场中各点的磁感应强度。2根据安培环路定律,在面电流两侧作一对称的环路。则10由1已知同轴电缆的内外半径分别为和,其间媒质的磁导率为，且电缆长度，忽略端部效应，求电缆单位长度的外自感。2设电缆带有电流则1在附图所示媒质中，有一载流为的长直导线，导线到媒质分界面的距离为。试求载流导线单位长度受到的作用力。2镜像电流镜像电流在导线处产生的值为单位长度导线受到的作用力11力的方向使导线远离媒质的交界面。1图示空气中有两根半径均为A，其轴线间距离为D的平行长直圆柱导体，设它们单位长度上所带的电荷量分别为和，若忽略端部的边缘效应，试求1圆柱导体外任意点P的电场强度的电位的表达式；2圆柱导体面上的电荷面密度与值。2以Y轴为电位参考点，则1图示球形电容器的内导体半径，外导体内径，其间充有两种电介质与，它们的分界面的半径为。已知与的相对介电常数分别为。求此球形电容器的电容。122解1一平板电容器有两层介质，极板面积为,一层电介质厚度，电导率，相对介电常数，另一层电介质厚度，电导率。相对介电常数，当电容器加有电压时，求1电介质中的电流；2两电介质分界面上积累的电荷；3电容器消耗的功率。2113231有两平行放置的线圈，载有相同方向的电流，请定性画出场中的磁感应强度分布线。2线上、下对称。1已知真空中二均匀平面波的电场强度分别为和求合成波电场强度的瞬时表示式及极化方式。2得合成波为右旋圆极化波。141图示一平行板空气电容器，其两极板均为边长为A的正方形，板间距离为D，两板分别带有电荷量与，现将厚度为D、相对介电常数为，边长为A的正方形电介质插入平行板电容器内至处，试问该电介质要受多大的电场力方向如何21解当电介质插入到平行板电容器内A/2处，则其电容可看成两个电容器的并联静电能量当时，其方向为A/2增加的方向，且垂直于介质端面。1长直导线中载有电流，其近旁有一矩形线框，尺寸与相互位置如图所示。设时，线框与直导线共面时，线框以均匀角速度绕平行于直导线的对称轴旋转，求线框中的感应电动势。2长直载流导线产生的磁场强度15时刻穿过线框的磁通感应电动势参考方向时为顺时针方向。1无源的真空中，已知时变电磁场磁场强度的瞬时矢量为试求1的值2电场强度瞬时矢量和复矢量即相量。2（1由得16故得21证明任一沿传播的线极化波可分解为两个振幅相等,旋转方向相反的圆极化波的叠加。2证明设线极化波其中和分别是振幅为的右旋和左旋圆极化波。1图示由两个半径分别为和的同心导体球壳组成的球形电容器，在球壳间以半径为分界面的内、外填有两种不同的介质，其介电常数分别为和，试证明此球形电容器的电容为2证明设内导体壳外表面所带的电荷量为Q，则17两导体球壳间的电压为证毕1已知求1穿过面积在方向的总电流2在上述面积中心处电流密度的模；3在上述面上的平均值。212面积中心,3的平均值181两个互相平行的矩形线圈处在同一平面内，尺寸如图所示，其中，。略去端部效应，试求两线圈间的互感。2设线框带有电流，线框的回路方向为顺时针。线框产生的为1用有限差分法计算场域中电位，试列出图示正方形网格中内点的拉普拉斯方程的差分格式和内点的泊松方程的差分格式。21已知，今将边长为的方形线框放置在坐标原点处，如图，当此线框的法线分别沿、和方向时，求框中的感应电动势。21线框的法线沿时由得192线框的法线沿时线框的法线沿时1无源真空中，已知时变电磁场的磁场强度为；,其中、为常数，求位移电流密度。2因为由得1利用直角坐标系证明FGFG2证明左边（XYZFAEAEYXZFAEFFYYXXXYZZZFEFFA20右边YXXZXYYYAEEFEEFFFAAFF1求无限长直线电流的矢量位和磁感应强度。AB2解直线电流元产生的矢量位为02214ZIDZDAER积分得20212010204LN2L4LNLZLLZZZIDZAERIZZRLIEZRIR当附加一个常数矢量,LA0LN4ZIRCE则000LNLL4ZZZIIRIREER则由04ZIABR1图示极板面积为S、间距为D的平行板空气电容器内，平行地放入一块面积为S、厚度为A、介电常数为的介质板。设左右两极板上的电荷量分别为与。若忽略端部的边缘Q效应，试求QQDA00XO211此电容器内电位移与电场强度的分布；2电容器的电容及储存的静电能量。2解1）2XQDES，10XE2XE2011SQCUDA22E012SCAD20QWQS1在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢量为/10102424MVEAEAEZJYZJX求（1）平面波的传播方向；（2）频率；（3）波的极化方式；（4）磁场强度；（5）电磁波的平均坡印廷矢量。AVS2解（1）平面波的传播方向为方向（2）频率为90312CFKHZ（3）波的极化方式因为，故为左旋圆极化40,02XMYXYE（4）磁场强度QQDA00XO1E21224420004420111JZZZXZYJYXHAEAJAEJE（5）平均功率坡印廷矢量44204420020810211REE1265/JZAVXYJZYXZZSEHAJEJAWM1利用直角坐标，证明FAF2证明左边XYZFAEEYXZFEFYYXXXYZZZAEFEAFEFEYXXZXYYYEFEEFFFAEAFF右边11求矢量沿平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方2XYZAEEXY形的两边分别与轴和轴相重合。再求对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。A232解22220000DDD8CXYAL又22XYZXZYEAE所以20D2D8XZZSYXYAEE故有D8CLDS1同轴线内外半径分别为和，填充的介质，具有漏电现象，同轴线外加电压，求AB0U（1）漏电介质内的；（2）漏电介质内的、；EJ（3）单位长度上的漏电电导。2解（1）电位所满足的拉普拉斯方程为0DR由边界条件所得解为,0RAURBLNB（2）电场强度变量为，LNRRDEEEBA24则漏电媒质的电流密度为LNRUJEREBA（3）单位长度的漏电流为022LLRIR单位长度的漏电导为0LNGBUA1如图所示，长直导线中载有电流，一矩COSMIIT形导线框位于其近旁，其两边与直线平行并且共面，求导线框中的感应电动势。2解载流导线产生的磁场强度的大小为02IBR穿过线框的磁通量02COSLNCACAMBDSIBRITA线框中的感应电动势0SINL2MDTBITCA参考方向为顺时针方向。1空气中传播的均匀平面波电场为，已知电磁波沿轴传播，频率为F。求0JKRXEE1磁场；H252波长；3能流密度和平均能流密度；SAVS4能量密度。W2解（1）0JKRZXHEE0JKRY（2）01VF（3）00JKRJKRXYSEHEEE2020COSJKRZZEEFTZ2011RE2AVZSHEE（4）200WE1平行板电容器的长、宽分别为和，极板间距离为。电容器的一半厚度用介电ABD0/2D常数为的电介质填充，（1）板上外加电压，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；0U（2）若已知板上的自由电荷总量为，求此时极板间电压和束缚电荷；Q（3）求电容器的电容量。2（1）设介质中的电场为ZEE，空气中的电场为0EZE。由D0，有260E又由于002UD由以上两式解得0ED002U故下极板的自由电荷面密度为02UED上上极板的自由电荷面密度为002ED上电介质中的极化强度0002ZUDPE故下表面上的束缚电荷面密度为002PZDE上上表面上的束缚电荷面密度为002PZUDEP上（2）由02QABD得到2702DQUAB故0PAB上（3）电容器的电容为02QCUD1频率为的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿（）方向传播，介10MHZZ质的特性参数为、，。设电场沿方向，即；当，4R1R0XXEE0T时，电场等于其振幅值。试求18ZM4/VM（1）和；,HT,EZT（2）波的传播速度；（3）平均波印廷矢量。2解以余弦形式写出电场强度表示式,COSXXMXEEZTEZTK把数据代入410/V02/3KFRADM41386XEZR则28484848,10COS210/364,COS2103610COS210/636XXYYYYEZTETZVMEHETZETZA（2）波的传播速度8801150/2VMS（3）平均坡印廷矢量为REAVSEH443636110RE02JZJZAVXYS428210/ZZEWM1在由5R、和4Z围成的圆柱形区域，对矢量2RZAE验证散度定理。2解在圆柱坐标系中2132RZRA所以42500D3D120ZR又2DDDRZRZSSSSAEEE42520054120ZR故有29D120ADSA1求（1）矢量22234XYZXYEE的散度；（2）求A对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。2解（1）22232247XYXYZXYZA（2）对中心在原点的一个单位立方体的积分为12221D7D24XYXZYZ（3）A对此立方体表面的积分121222DDDSYZYZ121222DXZXZ1212232314D4YYXY2故有1D24ADS1计算矢量R对一个球心在原点、半径为A的球表面的积分，并求R对球体积的积分。2解302230DDSIN4RSSAARE又在球坐标系中213R所以230D3SIND4ARAR1求矢量2XYZAEE沿XY平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与轴和轴相重合。再求A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。2解22220000DDD8CXYAL又22XYZXZYEAE所以20D2D8XZZSYXYAEE故有D8CLDS1证明（1）3R；（2）0；（3）AR。其中XYZE，A为一常矢量。2解（1）313XYZR20XYZE上（3）设XYZAEE则XYZR故XYZYXYZAAEEZXYZXYZAEEA1两点电荷18CQ位于轴上4处，2CQ位于Y轴上4处，求,0处的电场强度。2解电荷1在4,0处产生的电场为11330042XZQERE电荷2Q在4,0处产生的电场为2233004142XYQER故4,0处的电场为1203XYZEE1两平行无限长直线电流1I和2，相距为D，求每根导线单位长度受到的安培力MF。2解无限长直线电流产生的磁场为320112IRBE直线电流2I每单位长度受到的安培力为1012210DMZIIDFEE式中12E是由电流1I指向电流2的单位矢量。同理可得，直线电流1每单位长度受到的安培力为012212MIDFE1一个半径为A的导体球带电荷量为Q，当球体以均匀角速度绕一个直径旋转，求球心处的磁感应强度B。2解球面上的电荷面密度为24A当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量RAE点处的电流面密度为SZRJVRESINSIN4QAAE将球面划分为无数个宽度为DL的细圆环，则球面上任一个宽度为DLA细圆环的电流为DSIND4SQIJL细圆环的半径为SIBA，圆环平面到球心的距离COSA，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为22300323DSINDD8COZZIQBABEE0SINZQA33故整个球面电流在球心处产生的磁场为300SIND86ZZQQAABEE1半径为A的球体中充满密度R的体电荷，已知电位移分布为3254RAADAR其中A为常数，试求电荷密度。2解由，有21DRRDR故在RA区域2322001D54RRARA在RA区域54201D0ARR1一个半径为A薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为的体电荷，球壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为4RAEE，设球内介质为真空。计算（1）球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。2解（1）由高斯定理的微分形式可求得球内的电荷体密度为4322000041D1D6RRREA（2）球体内的总电量Q为322004D6DARA34球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷Q，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q，所以球壳外表面上的总电荷为2Q，故球壳外表面上的电荷面密度为024A1中心位于原点，边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为0XYZPE。（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的束缚电荷为零。2解（1）03P220XLXLXPNE220PXLXL同理0222PPPPLLYYZZ（2）3200D6PPSLQ1一半径为0R的介质球，介电常数为0R，其内均匀分布自由电荷，证明中心点的电位为20213RR2解由DSQD可得到32104RR上3200RDR上35即11000,33RRDER上0122020,R上故中心点的电位为00003122DD3RRRRERR20016RR1一个半径为R的介质球，介电常数为，球内的极化强度RKPE，其中为一常数。（1）计算束缚电荷体密度和面密度；（2）计算自由电荷密度；（3）计算球内、外的电场和电位分布。2解（1）介质球内的束缚电荷体密度为221DPKRRP在RR的球面上，束缚电荷面密度为PRRRRNE（2）由于0DEP，所以00DP即01P由此可得到介质球内的自由电荷体密度为2000PKRD36总的自由电荷量20014DDRKRKQR（3）介质球内、外的电场强度分别为100RRRPEE222004RRQKR介质球内、外的电位分别为112DDRRRERL200RRRKKR00LNR2200DDRRRKERR1如图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为0U，求槽内的电位函数。2解根据题意，电位,XY满足的边界条件为0,0A0,XBU根据条件和，电位,Y的通解应取为371,SINHSIYNXXYAA由条件，有01SINHSIBXUA两边同乘以SINXA，并从0到对X积分，得到02SINDSIHANAB01COI4,3,5SINH246UANB上故得到槽内的电位分布01,354,SINHSISINUYXXYBAA1两平行无限大导体平面，距离为，其间有一极薄的导体片由D到BYZ。上板和薄片保持电位0，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从0到DY，电位线性变化，0,YUD。0YXOBD题42图2解应用叠加原理，设板间的电位为,XY12,XY其中，1,为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为0U）的电位，即0,XYUB；2,是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为2,0X382,0XY02100,UYYDDBB根据条件和，可设2,XY的通解为21,SINENXBYA由条件有0100SINUYYDDBABB两边同乘以SINYB，并从0到对Y积分，得到00221SIND1SINDDBNDUUYAYBB2IBD故得到,XY0021SINIENXBUBDYDB1如题（A）图所示，在Z的下半空间是介电常数为的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为H处有一点电荷Q。求（1）0和Z的两个半空间内的电位；（2）介质表面上的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷Q。39题42图（B）图213ZQHQ1RPO题42图（A）ZQHO0Z0HQ2RPO题42图（C）2解（1）在点电荷Q的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题图（B）、（C）所示）0Q，位于HZ0，位于Z上半空间内的电位由点电荷Q和镜像电荷Q共同产生，即101002222041RQRZHRZH下半空间内的电位由点电荷和镜像电荷Q共同产生，即2222014QRRZH（2）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为120120PZZZENP0230ZHQR极化电荷总电量为0230D2DPPSHQRQR400Q1一个半径为R的导体球带有电荷量为Q，在球体外距离球心为D处有一个点电荷Q。（1）求点电荷Q与导体球之间的静电力；（2）证明当Q与同号，且RDQ23成立时，F表现为吸引力。ZRO题425图QQQD2解（1）导体球上除带有电荷量之外，点电荷还要在导体球上感应出等量异号的两种不同电荷。根据镜像法，像电荷Q和的大小和位置分别为（如题图所示）DR，D2Q，0导体球自身所带的电荷Q则与位于球心的点电荷Q等效。故点电荷Q受到的静电力为220044QQFFDD2204QQRQR（2）当与同号，且F表现为吸引力，即0F时，则应有22DRQDR由此可得出41DRQQ231如题58所示图，无限长直线电流I垂直于磁导率分别为1和2的两种磁介质的分界面，试求（1）两种磁介质中的磁感应强度B和；（2）磁化电流分布。2解（1）由安培环路定理，可得2IRHE所以得到0102IRBE2IRH（2）磁介质在的磁化强度0201IRMBE则磁化电流体密度01D1D02MZZIRMRJEE在0R处，2B具有奇异性，所以在磁介质中R处存在磁化线电流MI。以Z轴为中心、为半径作一个圆形回路C，由安培环路定理，有001DMCIIL故得到MI01I在磁介质的表面上，磁化电流面密度为102IXZ题58图12HL1PH12P题59图420MSZJME02RI1如题图所示，一环形螺线管的平均半径150RCM，其圆形截面的半径2ACM，鉄芯的相对磁导率140R，环上绕1N匝线圈，通过电流AI70。（1）计算螺旋管的电感；（2）在鉄芯上开一个CM0L的空气隙，再计算电感。（假设开口后鉄芯的R不变）（3）求空气隙和鉄芯内的磁场能量的比值。2解（1）由于0RA，可认为圆形截面上的磁场是均匀的，且等于截面的中心处的磁场。由安培环路定律，可得螺线管内的磁场为02NIHR与螺线管铰链的磁链为20AISR故螺线管的电感为20ANLIR72214105236H（2）当铁芯上开有小空气隙时，由于可隙很小，可忽略边缘效应，则在空气隙与鉄芯的分界面上，磁场只有法向分量。根据边界条件，有0B，但空气隙中的磁场强度0H与铁芯中的磁场强度不同。根据安培环路定律，有002HLRLNI又由于0B、及，于是可得002RRILL所以螺线管内的磁链为0R0LIAO题512图43200RANISBLL故螺线管的电感为200RRALILL2722411094H05（3）空气隙中的磁场能量为2001MWHSL鉄芯中的磁场能量为2001MRSL故00141487250MRWL1一根半径为A的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0ZBE中与Z轴平行。设棒以角速度绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。2解介质棒内距轴线距离为R处的感应电场为00ZREVBEE故介质棒内的极化强度为0001ERRBBPX极化电荷体密度为2002PRPRB极化电荷面密度为00PRRAEBNE则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为442201PPSQAAB1一圆柱形电容器，内导体半径为A，外导体内半径为B，长为L。设外加电压为0SINUT，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。2解当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同（准静态电场），即0SINLRUTBAEE故电容器两极板间的位移电流密度为0COSLNDRTTBADJE则200COSDDLNDRSUTIZRBAJSE00CSCSLNTCTBA式中，2LC是长为L的圆柱形电容器的电容。流过电容器的传导电流为0DCOSCUICTT可见DCI1已知在空气中901SNOS610YXTZEE，求H和。提示将E代入直角坐标中的波方程，可求得。2解电场E应满足波动方程220T将已知的YE代入方程，得452202YYYEEXZT式中22929290001SIN0COS610I1SIN610COS610YYYXTZXEZXTZT故得2920则3541RAD/M由0THE得0091SIN1I610COSYYXZXZETXTXZEE将上式对时间T积分，得99094910SIN1COS6106COSI2354110SIN610A/MXZXZXTZTZXTZEE1在自由空间中，已知