大学机械振动课后习题和答案1~4章总汇

11试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。12如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度13设有两个刚度分别为，的线性弹簧如图T13所示，试证明1K21它们并联时的总刚度为EQ21KE2它们串联时的总刚度满足EQK21EQ解1对系统施加力P，则两个弹簧的变形相同为，但受力不同，分X别为12KX由力的平衡有1212PKX故等效刚度为EQKX2对系统施加力P，则两个弹簧的变形为，弹簧的总变形为12XK1212XPK故等效刚度为1212EQKPXK14求图所示扭转系统的总刚度。两个串联的轴的扭转刚度分别为，。1TK2T解对系统施加扭矩T，则两轴的转角为12TTK系统的总转角为，1212TTTK12EQTTKTK故等效刚度为12EQTT15两只减振器的粘性阻尼系数分别为，试计算总粘性阻尼系数1C2EQC1在两只减振器并联时，2在两只减振器串联时。解1对系统施加力P，则两个减振器的速度同为，受力分别为X12CX由力的平衡有1212CX故等效刚度为EQPCX2对系统施加力P，则两个减振器的速度为，系统的总速度为12XC1212XPC故等效刚度为12EQPCXC16一简谐运动，振幅为05CM，周期为015S，求最大速度和加速度。解简谐运动的，振幅为；2/015NRADST3510M即33225COSIN/015COSXTMTXTS所以3MAX2510/MS17一加速度计指示出结构振动频率为82HZ，并具有最大加速度50G，求振动的振幅。解由可知2MAXNA2AX2225098/150NMSF18证明两个同频率但不同相角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动，即，并讨论,，三种特例。COSCOSSTCTBTA02/证明222CSOCSOSINICCSSOTTBTABTTCT其中22INCOSBARGA1当时；0C2当时；22/ARCTGBAB3当时；19把复数45I表示为指数形式。解，其中，I45AE24554ARCTG110证明一个复向量用I相乘，等于把它旋转。2/证明IIII22AEEA111证明梯度算子是线性微分算子，即,ZYXGBZYXFAZYXBGZYXAF这里，A,B是与X、Y、Z无关的常数。112求函数的均方值。考虑P与Q之间的如下三种关系TQBTPATGCOSCS，这里N为正整数；Q为有理数；P/为无理数。113汽车悬架减振器机械式常规性能试验台，其结构形式之一如图T113所示。其激振器为曲柄滑块机构，在导轨下面垂向连接被试减振器。试分析减振器试验力学的基本规律位移、速度、加速度、阻尼力。图T113114汽车悬架减振器机械式常规性能试验台的另一种结构形式如图T114所示。其激振器采用曲柄滑块连杆机构，曲柄被驱动后，通过连杆垂向带动与滑块连接的被试减振器。试分析在这种试验台上的减振器试验力学的基本规律，并与前题比较。图T11421弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为。设将物体向下拉，使弹簧有静伸长，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。3解设物体质量为，弹簧刚度为，则MK，即GK/NG取系统静平衡位置为原点，系统运动方程为0X（参考教材P14）02X解得COSNTT22弹簧不受力时长度为65CM，下端挂上1KG物体后弹簧长85CM。设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。解由题可知弹簧的静伸长08562MA所以97/2NGRADSA取系统的平衡位置为原点，得到系统的运动微分方程为20NX其中，初始条件（参考教材P14）0所以系统的响应为2COSNXTTM弹簧力为KGFNA因此振幅为02M、周期为、弹簧力最大值为1N。7S23重物悬挂在刚度为的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物从高度1MK2M为处自由落到上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。H解取系统的上下运动为坐标，向上为正，静平衡位置为原点，则当X0X有位移时，系统有X21TEM2UK由可知0TD120MXK即12/N系统的初始条件为021GKXH（能量守恒得）220MHX因此系统的响应为1COSINNXTATT其中20112NGKH即212COSSINMXTTTKM24一质量为、转动惯量为的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧约MIK束，如图所示，求系统的固有频率。解取圆柱体的转角为坐标，逆时针为正，静平衡位置时，则当有0M转角时，系统有22211TEIRIRUKR由可知0TD20IMRK即（RAD/S）2/NRI25均质杆长L、重G，用两根长H的铅垂线挂成水平位置，如图所示，试求此杆相对铅垂轴OO微幅振动的周期。26求如图所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且。213,KK解取的上下运动为坐标，向上为正，静平衡位置为原点，则当有MX0XM位移时，系统有X21TE（其中）21156UKXK12K由可知0TD103MX即（RAD/S），（S）153NK125TK27如图所示，半径为R的均质圆柱可在半径为R的圆轨面内无滑动地、以圆轨面最低位置O为平衡位置左右微摆，试导出柱体的摆动方程，求其固有频率。解设物体重量，摆角坐标如图所示，逆W时针为正，当系统有摆角时，则21COSURRRR设为圆柱体转角速度，质心的瞬时速度，即CRR记圆柱体绕瞬时接触点A的转动惯量为，则AI221ACWIRRGG2222334TRWEIRR（或者理解为，转动和平动的动能）221TCIRG由可知0TDEU230RRR即（RAD/S）23NGR28横截面面积为A，质量为M的圆柱形浮子静止在比重为的液体中。设从平衡位置压低距离X见图，然后无初速度地释放，若不计阻尼，求浮子其后的运动。解建立如图所示坐标系，系统平衡时0X，由牛顿第二定律得，即0MXAGNAGM有初始条件为0X所以浮子的响应为SIN2AGXTTM29求如图所示系统微幅扭振的周期。图中两个摩擦轮可分别绕水平轴O1，O2转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置半径O1A与O2B在同一水平线上，弹簧不受力。摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别为M1，M2。解两轮的质量分别为，因此轮的半径比为12,M12R由于两轮无相对滑动，因此其转角比为121R取系统静平衡时，则有10222114TEMRRMR11UKK由可知0TD22110RKR即（RAD/S），（S）12NM12T210如图所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为I，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为P的物体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平弹簧维持平衡。半径R与A均已知，求微振动的周期。解取轮的转角为坐标，顺时针为正，系统平衡时，则当轮子有转角时，系统有022211TPPEIIGGUKA由可知0TD220IRKAG即（RAD/S），故（S）2NKAPIG2NPIRGTKA211弹簧悬挂一质量为M的物体，自由振动的周期为T，如果在M上附加一个质量M1，则弹簧的静伸长增加，求当地的重力加速度。LA解24TK121MGKLLTA212用能量法求图所示三个摆的微振动的固有频率。摆锤重P，B与C中每个弹簧的弹性系数为K/2。1杆重不计；2若杆质量均匀，计入杆重。解取系统的摆角为坐标，静平衡时0（A）若不计杆重，系统作微振动，则有21TPELG21COSUGL由可知0TD0P即（RAD/S）NL如果考虑杆重，系统作微振动，则有2221133LTLPPMEGGCOSCOSLLUL由可知0TDE203LLPGG即（RAD/S）23LNMG（B）如果考虑杆重，系统作微振动，则有222113LTLPPMELG2LMKUG即（RAD/S）243LNPMKG（C）如果考虑杆重，系统作微振动，则有222113LTLPPMELGG2LMKU即（RAD/S）43LNKPG213求如图所示系统的等效刚度，并把它写成与X的关系式。答案系统的运动微分方程20ABMXKX214一台电机重470N，转速为1430RMIN，固定在两根5号槽钢组成的简支梁的中点，如图所示。每根槽钢长12M，重6528N，弯曲刚度EI166105NM2。A不考虑槽钢质量，求系统的固有频率；B设槽钢质量均布，考虑分布质量的影响，求系统的固有频率；C计算说明如何避开电机和系统的共振区。215一质量M固定于长L，弯曲刚度为EI，密度为的弹性梁的一端，如图所示，试以有效质量的概念计算其固有频率。WL3/3EI216求等截面U形管内液体振动的周期，阻力不计，假定液柱总长度为L。解假设U形管内液柱长，截面积为，密度为，取系统静平衡时势能为LA0，左边液面下降时，有X21TEALG由可知0TDU20LXGA即（RAD/S），（S）2NLLT217水箱L与2的水平截面面积分别为A1、A2，底部用截面为A0的细管连接。求液面上下振动的固有频率。解设液体密度为，取系统静平衡时势能为0，当左边液面下降时，右边1X液面上升，液体在水箱L与2和细管中的速度分别为，则有2X123,211321TEAHXALXHX2312H（由于）1HX123XX12A2UAG由可知0TDE1112320AHLXGX即（RAD/S）123NGHLA218如图所示，一个重W、面积为A的薄板悬挂在弹簧上，使之在粘性液体中振动。设T1、T2分别为无阻尼的振动周期和在粘性液体中的阻尼周期。试证明221TG并指出的意义式中液体阻尼力FD2AV。219试证明对数衰减率也可用下式表示，式中XN是经过N个循N0L1环后的振幅。并给出在阻尼比为00L、01、03时振幅减小到50以下所需要的循环数。解设系统阻尼自由振动的响应为；XT时刻的位移为；时刻的位移为；则0T0X0NTTNX00COSNNDNDTTDTTNXXEET所以有，即01LLNDXXNX0L1当振幅衰减到50时，即05NX2L21当时，；要11个循环；012当时，；要2个循环；N3当时，；要1个循环；34220某双轴汽车的前悬架质量为M11151KG，前悬架刚度为K1102105NM，若假定前、后悬架的振动是独立的，试计算前悬架垂直振动的偏频。如果要求前悬架的阻尼比，那么应给前悬架设计多大阻尼025系数C的悬架减振器221重量为P的物体，挂在弹簧的下端，产生静伸长，在上下运动时所遇到的阻力与速度V成正比。要保证物体不发生振动，求阻尼系数C的最低值。若物体在静平衡位置以初速度V0开始运动，求此后的运动规律。解设系统上下运动为坐标系，系统的静平衡位置为原点，得到系统的运动X微分方程为0PXCG系统的阻尼比2CMKPG系统不振动条件为，即12/C物体在平衡位置以初速度开始运动，即初始条件为00X此时系统的响应为（可参考教材P22）1当时12211NNNTTTXTEAE其中0,22NNG2当时，其中112NNTTXTAE120A即0NTT3当时112COSINNTDDXTECTT其中，即202/DDN0SINTDXTET222一个重5500N的炮管具有刚度为303105NM的驻退弹簧。如果发射时炮管后座12M，试求炮管初始后座速度；减振器临界阻尼系数它是在反冲结束时参加工作的；炮管返回到离初始位置005M时所需要的时间。223设系统阻尼比，试按比例画出在05、10、20三种情况下01N微分方程的向量关系图。224试指出在简谐激励下系统复频率响应、放大因子和品质因子之间的关系，并计算当、5RAD/S时系统的品质因子和带宽。02N225已知单自由度系统振动时其阻力为CV其中C是常数，V是运动速度，激励为，当即共振时，测得振动的振幅为X，求激励的幅值0SIFTNF0。若测得共振时加速度的幅值为A，求此时的F0。226某单自由度系统在液体中振动，它所受到的激励为N，系50COSFT统在周期T020S时共振，振幅为0005CM，求阻尼系数。解由时共振可知，系统固有频率为0221NT当时，已知响应振幅，（参教材P30）N0FXC所以501/FCNSMXA227一个具有结构阻尼的单自由度系统，在一周振动内耗散的能量为它的最大势能的12，试计算其结构阻尼系数。228要使每一循环消耗的能量与频率比无关，需要多大的阻尼系数。229若振动物体受到的阻力与其运动速度平方成正比，即02XAFD求其等效阻尼系数和共振时的振幅。解实际上，这是一种低粘度流体阻尼。设系统的运动为COSXTXT32C/0/2/30/223|SINSIN0WAXAWDHWTAWTDXTD34AXD238XCX382AE229COSXTINX/2/20/2/2238SICOSNCWXDXDTXTDTX2PC83AX0028FCAAFWAXFNNX2318302022902XD23834/0/4/02COSZDTDXFTTECPE380CFZ2083ZF230KGL电动机重P，装在弹性基础上，静下沉量为。当转速为NRMIN时，由于转子失衡，沿竖向有正弦激励，电机产生振幅为A的强迫振动。试求激励的幅值，不计阻尼。231电动机重P，装在弹性梁上，使梁有静挠度。转子重Q，偏心距为E。试求当转速为时，电动机上下强迫振动的振幅A，不计梁重。232一飞机升降舵的调整片铰接于升降舵的O轴上图T232，并由一联动装置控制。该装置相当于一刚度为KT的扭转弹簧。调整片转动惯量为，因而系统固有频率，I/NTKI但因KT不能精确计算，必须用试验测定。为此固定升降舵，利N用弹簧K2对调整片做简谐激励，并用弹簧K1来抑制。改变激励频率直至达到其共振频率。试T以和试验装置的参数来表示调T整片的固有频率。N解设调整片的转角为，系统的微分方程为21SINTIKLKYT系统的共振频率为210TLI因此221TKIK调整片的固有频率为2210TNKLII图T232233如图所示由悬架支承的车辆沿高低不平的道路行进。试求W的振幅与行进速度的关系，并确定最不利的行进速度。解由题目233VLTLVTW2TYY2COSYXKXTWLV2COSYX22SLVKSXS22WSSYLVWKN22ININYAYNAXTWVTKLYYLWVNN224221/10/1WKVL2233TV2LV2KYXMN22NY242LVNNXMRLV24234单摆悬点沿水平方向做简谐运动图T234，ASINT。试求在微幅的强迫振动中偏角的变化规律。已知摆长为L，摆锤质量为M。235一个重90N的飞机无线电要与发动机的频率16002200R/MIN范围的振动隔离，为了隔离85，隔振器的静变形需要多少236试从式295证明1无论阻尼比取何值，在频率比时，恒有XA。2/N2在，X/A随增大而减小，而在，X/A随增2/N2/N大而增大。237某位移传感器固有频率为475HZ，阻尼比065。试估计所能测量的最低频率，设要求误差1，2。238一位移传感器的固有频为率2HZ，无阻尼，用以测量频率为8HZ的简谐振动，测得振幅为0132CM。问实际振幅是多少误差为多少239一振动记录仪的固有频率为FN30HZ，阻尼比050。用其测量某物体的振动，物体的运动方程已知为X205SIN4T10SIN8TCM证明振动记录仪的振动Z将为Z103SIN4T500115SIN8T1200CM240求单自由度无阻尼系统对图所示激励的响应，设初始条件为零。解ASIN1TETHTDMTNDTDSIN21THDMDSICOSCO011TFTXTNMNRFTNCOS1COS1121211TTDTHDTHTNRFNRFTTCOSCOSCSCOS012122011TTTTHFFTXNNRNNRTTTBTF1010TTFCOS11010SINTTRFNTTNTDHXCSSINSIN10111TTNRFTTHDCTF1010TTFSINCOS110TTDHXTNRTCO0SINSIN01111TTRFTTTDHT241求图T241所示系统的传递函数，这里激励是X3T。242一弹簧质量系统从一倾斜角为300的光滑斜面下滑，如图所示。求弹簧与墙壁开始接触到脱离接触的时间。解弹簧接触墙壁时，的速度为M02SIN3G以接触时M的位置为原点，斜下方为正，则M的微分方程为I0XK考虑到系统的初始条件，采用卷积分计算系统的响应为0XGS其中0IN3SI1CONNXTTTKNKM当M与墙壁脱离时应有10XT故由11SINCOS02NGMGXTTTK可得到142KTARCT也就是弹簧与墙壁开始接触到脱离接触的时间。243一个高F0、宽T0的矩形脉冲力加到单自由度无阻尼系统上，把这个矩形脉冲力看做两个阶跃脉冲力之和，如图所示。用叠加原理求TT0后的响应。244如图T244所示，系统支承受凸轮作用，运动波形为图中所示的锯齿波，求系统的稳态响应。245证明式2136，即卷积积分满足交换律THFTTH31如图所示扭转系统。设1212TTIK1写出系统的刚度矩阵和质量矩阵；2写出系统的频率方程并求出固有频率和振型，画出振型图。解1以静平衡位置为原点，设的转角为广义坐标，画出隔离体，12,I12,12,I根据牛顿第二定律得到运动微分方程，即112120TTIK121220TTTIKK所以1122,0TTTKIMK系统运动微分方程可写为A11220M或者采用能量法系统的动能和势能分别为221TEII221112TTTTTTUKKK求偏导也可以得到,MK由于，所以1212TTIK210,TIKK2设系统固有振动的解为，代入（A）可得12COSUTB1220UKM得到频率方程21120TTKIKIA即242110TTII解得221211211,244TTTTKIIIKKI所以C112TI12TI将（C）代入（B）可得11211211220TTTTTTKKIKUIAA解得；21U2U令，得到系统的振型为070710707132求图所示系统的固有频率和振型。设。并画出振型12321MK图。解1以静平衡位置为原点，设的位移为广义坐标，画出隔离12,M12,X12,M体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程1212320MXKXK所以12132,0KMK系统运动微分方程可写为A11220XM或者采用能量法系统的动能和势能分别为221TEMX213UKKX求偏导也可以得到,MK由于，所以12321MK22301,14MKK2设系统固有振动的解为，代入（A）可得12COSXUTB1220UKM得到频率方程22304KMKA即2423170M解得22221,23763KKKM所以C2173KM273KM将（C）代入（B）可得222122220743KKKUMAAA解得；12753U12U令，得到系统的振型为34301009133如图所示弹簧质量系统，写出系统的频率方程并求出固有频率和振型，画出振型图。解以静平衡位置为原点，设的位移为广义坐标，12,M12,X系统的动能和势能分别为221TEX12UKGX求得0,MMKK系统运动微分方程可写为A11220XM设系统固有振动的解为，代入（A）可得12COSUTXB1220UK得到频率方程20KMKA即24230M解得21,5K所以C13M235KM将（C）代入（B）可得12520352KKKUMAA解得；125U12U令，得到系统的振型为173612736134如图T34所示，由一弹簧是连接两个质量M1，M2构成的系统以速度V撞击制动器K1，求传到基础上的力的最大值。设V为常数且弹簧无初始变形，并设M1M2与K12K。35求图所示系统的固有频率和振型，并画出振型图。设杆质量分布均匀。36求图所示系统当左边质量有初始位移A而其余初始条件均为零时的响应37如图T37所示由弹簧耦合的双摆，杆长为L。1写出系统的刚度矩阵、质量矩阵和频率方程；2求出固有频率和振型；3讨论是值改变对固有频率的影响。解41按定义求如图所示三自由度弹簧质量系统的刚度矩阵，并用能量法检验。求系统的固有频率和振型。（设）1321423563MMKKK解1以静平衡位置为原点，设的位移为广义坐标，画出123,M123,X隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程123,M