概率论与数理统计第四版习题答案全

概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率 1概率论与数理统计习（第四版）题解答第一章 随机事件及其概率样本空间事件的关系及运算一、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。设事件 表示“出现偶数点” ，事件 表示“出AB现的点数能被 3 整除” （1）写出试验的样本点及样本空间；（2）把事件 及 分别表示为样本点的集合；AB（3）事件 分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的 ,集合解：设 表示“出现 点” ，则ii)6,21(（1）样本点为 ；样本空间为54321,.,654321（2） ； ,642A.63B（3） ，表示“出现奇数点” ； ，表示“出现的点数不531 ,5421B能被 3 整除” ； ，表示“出现的点数能被 2 或 3 整除” ； ，,6432 6AB表示“出现的点数能被 2 整除且能被 3 整除” ； ，表示“出现的点数既不能,A51被 2 整除也不能被 3 整除”二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点：（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和 “点数之和大于 10”， “点B数之和小于 15”（2）一盒中有 5 只外形相同的电子元件，分别标有号码 1，2，3，4，5从中任取 3只， “最小号码为 1”A解：(1) 设 表示“点数之和等于 ” ，则ii)8,4,3(；,1843；21 .,1443B(2) 设 表示“出现号码为 ” ，则ijk kji );5,2( kjiji , 34235415314251423 .A三、设 为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件：CB,(1) 发生 , 与 都不发生；(2) 都发生；(3) 中至少有两个发生；A(4) 中至多有两个发生,解：(1) ；B(2) ；C(3) 或ABCA(4) 或 或BCA .ABC四、一个工人生产了 n 个零件，以 表示他生产的第 个零件是合格品（ ） 用 表i i ni1i概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率 2示下列事件：（1）没有一个零件是不合格品；（2）至少有一个零件是不合格品；（3）仅有一个零件是不合格品；（4）至少有一个零件不是不合格品解：(1) ；nA21(2) 或 ； nA21(3) nnn 2121(4) 或 .21n第二章 概率的古典定义概率加法定理一、电话号码由七个数字组成，每个数字可以是 0，1，2，9 中的任一个数（但第一个数字不能为 0） ，求电话号码是由完全不同的数字组成的概率解：基本事件总数为 6101019 CC有利事件总数为 45789245678设 表示“电话号码是由完全不同的数字组成” ，则A 06.1)(6AP二、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率解：基本事件总数为 !10指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为 种；这三本书按确定的顺!7A序放在书架上的所以可能的位置共 种；这三本书的排列顺序数为 ；故有利81C!3A事件总数为 (亦可理解为!38!7)3P设 表示“指定的三本书放在一起” ，则A 067.15!)A三、为了减少比赛场次，把二十个队任意分成两组（每组十队）进行比赛，求最强的两个队被分在不同组内的概率解：20 个队任意分成两组（每组 10 队）的所以排法，构成基本事件总数 ；两个最强的102C队不被分在一组的所有排法，构成有利事件总数 9182C设 表示“最强的两队被分在不同组” ，则A 56.0)(10298AP四、某工厂生产的产品共有 100 个，其中有 5 个次品从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于 1 个的概率解：设 表示“出现的次品为 件” ， 表示“取出的产品中次品不多iAi ),43,10(A于 1 个” ，则 因为 ，所以 而.10AV).(10PP概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率 30281.9743)(5019CAP 1529.079425)(019CAP故 8.2.)(五、一批产品共有 200 件, 其中有 6 件废品求 (1) 任取 3 件产品恰有 1 件是废品的概率; (2) 任取 3 件产品没有废品的概率; (3) 任取 3 件产品中废品不少于 2 件的概率解：设 表示“取出的 3 件产品中恰有 1 件废品” ； 表示“取出的 3 件产品中没有废品” ；AB表示“取出的 3 件产品中废品不少于 2 件” ，则C(1) 085.912048)(1946 P(2) .320B(3) 023.198204)(194361946 C六、设 求 A, B, C 至少有一事件发生的41)( , ,3)()( BCP(A)PBBPA概率解：因为 ，所以 ，从而 可推出0V, V)( 0)(ABP设 表示“A, B, C 至少有一事件发生” ，则 ，于是有DD)()()() 75.4313第三章 条件概率与概率乘法定理全概率公式与贝叶斯公式一、设 求 ,6.0)|(,4.0)(,5.)( BAPAP )|(,)BAP解：因为 ，所以 ，即B(14.06.15.0 87.53.)4(.)()()()|( BAPAP二、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过两次而接通所需电话的概率若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解：设 表示“第一次拨通” ， 表示“第二次拨通” ， 表示“拨号不超过两次而拨通”BC（1） 2.01)()( 1901CAPC（2） 4.5254概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率 4三、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是 0.03，第二台出现废品的概率是0.02加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍（1）求任意取出的零件是合格品的概率；（2）如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率解：设 表示“第 台机床加工的零件” ； 表示“出现废品” ； 表示“出现合iAi )2,1(iBC格品”（1） )()()()() 22112121 APACPAPCPC 973.0.30.3（2） 25.0.310.2)()()()( 211222 ABPABPAB四、猎人在距离 100 米处射击一动物，击中的概率为 0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为 150 米；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为 200 米假定击中的概率与距离成反比，求猎人三次之内击中动物的概率解：设 表示“第 次击中” ，则由题设，有 ，得 ，从iAi )3,21(i 106.)(1kAP60而有，4.0156)(2kP .306)(3kAP设 表示“三次之内击中” ，则 ，故有3211)()()()( 321211A8.4.6.6.0（另解）设 表示“猎人三次均未击中” ，则B160)(0)() P故所求为 832.1)(五、盒中放有 12 个乒乓球，其中有 9 个是新的第一次比赛时从其中任取 3 个来用，比赛后仍放回盒中第二次比赛时再从盒中任取 3 个，求第二次取出的都是新球的概率解：设 表示“第一次取得 个新球” ，则iAi ),10(i201)(30CP27)319CAP2018)(392CAP084(230设 表示“第二次取出的都是新球” ，则B 312631273128312930 08470)()( CCABPPi ii .560454271 概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率 5第四章 随机事件的独立性独立试验序列一、一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于 0.9，第二台等于 0.8，第三台等于 0.7求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率解：设 表示“第 台机床不需要照管” ，则iAi )3,21(i9.0)(1P8.0AP7.0)(3AP再设 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管” ，则B 21321321321B于是有 )()()()()()()( 3213321 APA7.08.907.89.078.907.809. （另解）设 表示“有 台机床需要照管” ， 表示“在一小时内三台车床中iBi )1,(iB最多有一台需要工人照管” ，则 且 、 互斥，另外有0B054.078.90)(P 398.0)7(8.97.)81(9)1 故 2354)(010 P二、电路由电池 与两个并联的电池 及 串联而成设电池 损坏的概率分别是 0.3、abccba,0.2、0.2，求电路发生间断的概率解：设 表示“ 损坏” ； 表示“ 损坏” ； 表示“ 损坏” ；则1A2A3A3.0)(P.0)(32P又设 表示“电路发生间断” ，则B321B于是有 )()()() 321321 APA(21PA8.0.0.0三、三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为 、 、 ，求能将此密码534译出的概率解：设 表示“甲能译出” ； 表示“乙能译出” ； 表示“丙能译出” ，则ABC51)(AP31)(P1)(P设 表示“此密码能被译出” ，则 ，从而有DBAD)()()()( ABCPC ()()(6.04131453145 概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率 6（另解） ，从而有52)41(3)51()()() CPBACPD6.021D四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人的命中概率分别为 飞机被一7.0,.人击中而被击落的概率为 ，被两人击中而被击落的概率为 ，若三人都击中，则2.0飞机必被击落求飞机被击落的概率解：设 表示“甲命中” ； 表示“乙命中” ； 表示“丙命中” ；则1AA3A4.)(1P5.0)(2P7.0)(3P设 表示“ 人击中飞机” ，则iBi ,1(i 9.1.(4.)() 3213210 P31 )()32121321 AA)()()( 321APPP36.075.4.07.5.047.05.4.0 ) 3213213212BP)()()(A)()(321321321 A41.075.4.07.5.047.05.4.0 )()()3 P设 表示“飞机被击落” ，则由题设有)0BAP2.1B6.)(2B)(3BAP故有458.01.041.36.09.)(30 i ii五、某机构有一个 9 人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是 0.7，现在该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率解：设 表示“第 人贡献正确意见” ，则 iAi 7.0)(iAP)9,21(i又设 为作出正确意见的人数， 表示“作出正确决策” ，则m)98)6(5)() 99PP 279364 )3.0(.(.3.07. CCC9189 70 273645 .).).(.129()4.5.2.6.07.9六、每次试验中事件 A 发生的概率为 p，为了使事件 A 在独立试验序列中至少发生一次的概率不小于 p，问至少需要进行多少次试验？解：设做 次试验，则n npPAP )1(1 一 次 都 不 发 生至 少 发 生 一 次概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率 7要 ，即要 ，从而有pn)1( pn1)( .1)(log)1pn答：至少需要进行一次试验第五章 离散随机变量的概率分布超几何分布二项分布泊松分布一、一批零件中有 9 个合格品与 3 个废品安装机器时从这批零件中任取 1 个如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布解：设 表示“在取得合格品以前已取出的废品数” ，则 的概率分布为XX0 1 2 3p129C923C109312C即 X0 1 2 3p43490920亦即0 1 2 375.205.41.4.二、自动生产线在调整以后出现废品的概率为 生产过程中出现废品时立即进行调整求在两次调整p之间生产的合格品数的概率分布解：设 表示“在两次调整之间生产的合格品数” ，且设 ，则 的概率分布为X pq0 1 2 nppq q三、已知一批产品共 20 个，其中有个次品（）不放回抽样抽取个产品，求样品中次品数的概率分布；（）放回抽样抽取个产品，求样品中次品数的概率分布解：（1）设 表示“取出的样本中的次品数” ，则 服从超几何分布，即 的概率函数为XXX)4,320()(62014xCxPx从而 的概率分布为0 1 2 3 4p485496521即 X0 1 2 3 4p26.458.0578.01.（2）设 表示“取出的样本中的次品数” ，则 服从超几何分布，即 的概率函数为XX概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率 8)6,543,20()2.01().)( 66 xCxXPx从而 的概率分布为X0 1 2 3 4 5 6p5)4(6564656211即 X0 1 2 3 4 5 6p26.39.458.019.0.1.0.四、电话总机为 300 个电话用户服务在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于 0.01，求在一小时内有 4 个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差） 解：（1）用二项分布计算 )1.( 1687.0).1()0.()4 29443296430 CpCP（2）用泊松分布计算 .n835.!)(e相对误差为 .51687.03. 0五、设事件 A 在每一次试验中发生的概率为 0.3，当 A 发生次数不少于 3 次时，指示灯发出信号现进行了 5 次独立试验，求指示灯发出信号的概率解：设 表示“事件 发生的次数” ，则 ， ， 于是有X3.)(pP5n).0,(BX)4(3( PX52511pCC1638.02.8.0（另解） )2()()()()( XP254155p163.六、设随机变量 的概率分布为；2, 10 ,!)(kakXP其中 0 为常数，试确定常数 a解：因为 ，即 ，亦即 ，所以01)(kXP01!ke.ea第六章 随机变量的分布函数连续随机变量的概率密度一、函数 可否是连续随机变量 的分布函数？为什么？如果 的可能值充满区间：21xXX（1） （ ） ；（2） （ ） , 0,概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率 9解：（1）设 ，则21)(xF1)(0xF因为 ， ，所以 不能是 的分布函数limxli)(X（2）设 ，则 且 ，2)()(0limxx 1)(lixFx因为 ，所以 在（ ）上单增0 )1 xF)(F,综上述，故 可作为 的分布函数(X二、函数 可否是连续随机变量 的概率密度？为什么？如果 的可能值充满区间：fsin) X（1） ； （2） ； （3） ,0,02,0解：（1）因为 ，所以 ；又因为 ，所以当,xsin)(xf 1cos)(2020xdxf2,0x时，函数 可作为某随机变量 的概率密度xfsin)( X（2）因为 ，所以 ；但 ，所以当x, 0si)(f 12cos)(0xdxf x,0时，函数 不可能是某随机变量 的概率密度fi)(（3）因为 ，所以 不是非负函数，从而它不可能是随机变量 的概率密度23,0xfin)( X二、一批零件中有 9 个合格品与 3 个废品安装机器时从这批零件中任取 1 个如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的分布函数，并作出分布函数的图形解：设 表示“取出的废品数” ，则 的分布律为XX0 1 2 3p434909201于是， 的分布函数为X其图形见右： 3,1209,13,)(xxxF四、 （柯西分布）设连续随机变量 的分布函数为XxBAF ,arctn)(求：（1）系数 A 及 B；（2）随机变量 落在区间 内的概率；(3) 的概率密度)1(X解：(1) 由 ， ，解得0)