信号处理习题答案

第 1 页 共 33 页数字信号处理习题解答第二章 数据采集技术基础2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率 s=6，采样后经理想低通滤波器 Ha(j )还原，其中 3021)(，ja现有两个输入， x1(t)=cos2 t， x2(t)=cos5 t。试问输出信号y1(t)， y2(t)有无失真？为什么？分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率 s必须大于等于信号谱最高角频率 h的 2 倍，即满足 s2 h。解：已知采样角频率 s=6，则由香农采样定理，可得因为 x1(t)=cos2 t，而频谱中最高角频率 ，所以3261hy1(t)无失真；因为 x2(t)=cos5 t，而频谱中最高角频率 ，所以52hy2(t)失真。2.2 设模拟信号 x(t)=3cos2000 t +5sin6000 t +10cos12000 t，求：（1） 该信号的最小采样频率；（2） 若采样频率 fs=5000Hz，其采样后的输出信号；分析：利用信号的采样定理及采样公式来求解。采样定理 1采样后信号不失真的条件为：信号的采样频率 fs不小于其最高第 2 页 共 33 页频率 fm的两倍，即fs2 fm采样公式 2 )()(snTtxxs解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是f1=1000Hz， f2=3000Hz， f3=6000Hz信号的最高频率 fm=6000Hz由采样定理 fs2 fm，得信号的最小采样频率 fs=2fm =12kHz（2）由于采样频率 fs=5kHz，则采样后的输出信号 nnnnnnfnxTtxnssns 52si512cos3 512cos0i512si512cos3 562cos03i)()(说明 ：由上式可见，采样后的信号中只出现 1kHz 和 2kHz 的频率成分，即 kHzffffss25021121令若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号，则恢复后的模拟信号第 3 页 共 33 页tttftfty 40sin520cos132sin5cos13)(1 可见，恢复后的模拟信号 y(t) 不同于原模拟信号 x(t)，存在失真，这是由于采样频率不满足采样定理的要求，而产生混叠的结果。第三章 傅里叶分析I. 傅里叶变换概述3.1 习题 3.2设序列 x(n)= (n-m)，求其频谱 X(ej )，并讨论其幅频和相频响应分析：求解序列的频谱有两种方法：先求序列的 z 变换 X(z)，再求频谱 ，即 X(ej )为 1 jezjeX)(单位圆上的 z 变换；直接求序列的傅里叶变换 2 nnjjexeX)()(解：对序列 x(n)先进行 z 变换，再求频谱，得 mZTzX)()(则 jmezjej若系统的单位采样响应 h(n)=x(n)，则系统的频率响应 )(exp)(1()( jHeXHjjmjjj 故其幅频和相频响应（如图）分别为幅频响应 )(je相频响应 m第 4 页 共 33 页由图可见，该系统的频率响应具有单位幅值以及线性相位的特点。3.2 设 x(n)的傅里叶变换为 X(ej )，试利用 X(ej )表示下列序列的傅里叶变换：（1） )1()()1nxx（2） 2n分析：利用序列翻褶后的时移性质和线性性质来求解，即，)()(jeXnx)()(jeXnxjmj解：（1）由于 ， ，则)()jexDTF)()(jexDTF1jjXn)()(jjex故 cos2)()1 jjjjeeXnxDTF（2）由于 )(j故 )(Re2)()2 jjj Xenx3.3 设 X(ej )是如图所示的信号 x(n)的傅里叶变换，不必求出X(ej )，试完成下列计算：（1） 0j( )H(ej )1第 5 页 共 33 页（2） deXj)(（3） j2分析：利用序列傅里叶变换的定义以及帕塞瓦定理来求解。（1） 序列的傅里叶变换公式为：正变换 nnjjexeX)()(反变换 dxnj21（2） 帕塞瓦定理 deXnxj22)(1)(解：（1）由傅里叶正变换公式可知 =0，则6)()()(00nnjj xexeX（2）由于 ej0=1，则由傅里叶反变换公式可知 n=0，故 42)(2)()( 00 njj xdeXd（3） 由帕塞瓦定理，得 28)(2)(nj xdeII. 周期序列的离散傅里叶级数（DFS）3.4 如图所示，序列 x(n)是周期为 6 的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。第 6 页 共 33 页分析：利用 DFS 的定义求解，即，其中 k = 0 (N-1)10)()()(NnknWxDFSkX解：已知 N = 6，则由 DFS 的定义得 kjkjkjkjkjnnkjn eeexxk 56246236226625050 108114)()()( 对上式依次取 k = 0 5，计算求得 39)5(3)4()3(9jXjX， ，3.5 设 ，nnx其 他， ，01)( 24nRh令 ， ，试求 与 的周期卷积。66)(h)(xh分析：可以利用列表法求解，直观方便。由于 )(nxy * 10)()(Nmnhxh只要将列表中对应于某个 n 的一行中的 值和第一行中与之对应的 值相乘，然后再将所有乘积结果相加，就得到此 n 的)(mx值ny解：第 7 页 共 33 页注意 ：本题需要利用下一节中有限序列与周期序列的关系以及序列循环移位的概念。在一个周期（ N=6）内的计算卷积值 )(nxy * 10)()(Nmnhxh则 与 的周期卷积 值（ n=05）如下表所示：)(nxhIII. 离散傅里叶变换（DFT）3.6 已知 x(n)如图所示，为1，1，3，2，试画出序列 x(-n)5， x(-n)6 R6(n)， x(n)3 R3(n)， x(n)6， x(n-3)5R5(n) 和x(n)7 R7(n)的略图。分析：此题需注意周期延拓的数值，也就是 x(n)N中 N 的数值。如果 N 比序列的点数多，则需补零；如果 N 比序列的点数少，则需将序列按 N 为周期进行周期延拓，造成混叠相加形成新的序列。解：第 8 页 共 33 页各序列的略图如图所示。3.7 试求下列有限长序列的 N 点离散傅里叶变换（闭合形式表达式）：（1） )()(nRaxN（2） 00，（3） )()(xN（4） 2nR分析：利用有限长序列的 DFT 的定义，即 10)()(10 NkWnxkXNk，解：（1）因为 ，所以RanxN kNjnnkNjnk aeeak 210210 1)( （2）因为 ，所以x)()，第 9 页 共 33 页knNjNnknNeWX02100)()(（3）由 ，得)()(nRxN10)(NnkX注意 ：为了便于求解，必须利用代数简化法消除掉上式中的变量n。 10)1()(NnnkkWXNWWNnWkXkNNnk kkkkkNnNk1)( )1()2(2 13)1(1 )1(10)1(10令所以 kNX1)(（4） 注意 ：本题可利用上题的结论来进行化简。由 ，则)()(2nRxN102)(NnknWkX根据第（3）小题的结论：若 )(1RxN则第 10 页 共 33 页kNNnkWX1)(101与上题同理，得 kNNnkkn kNNkkkNkNnnnkWXWWWX 12)()()()12(1 )1()2(4 9)1( 1 2)1(3210)1(10所以 10)1(2)(2NkkXkN，3.8 试画出图示的两