自动控制理论答案孙扬声版

T2-1 判断下列方程式所描述的系统的性质：线性或非线性，定常或时变，动态或静态。（1） ； （3） ； （4） ；tudtyty22321)(tuy)(3tutydtsin（7）在图 T2-1 中去掉一个理想二极管后，情况如何？解：先区别几组概念（线性和非线性；定常和时变；动态和静态） 线性系统（即系统变量间的关系）：多项式形式，各项变量的幂指数为 1； 非线性系统：多项式形式，各项变量的幂指数不全为 1； 定常系统：系统参数与时间无关； 时变系统：系统参数与时间有关； 静态系统：输入到输出没有过渡过程； 动态系统：输入到输出有过渡过程。 （笔者认为在判断系统静态或动态的时候，我们可以看多项式里面有没有积分或微分。若有积分或微分，为动态系统；若积分和微分都没有，为静态系统。 ）题号 分析 系统性质（1）a、 )(ty的幂指数为 2，非线性； b、变量 （把因变量或激励量的各阶导数的一次幂看作2dt一个变量）的系数为 3t，是时间的函数，时变； c、多项式含有微分，动态。非线性，时变，动态（3）a、激励量 的幂指数为 ，不为 1，非线性；)(tu2b、各变量的系数均为常数，与时间无关，定常；c、式中不含微分、积分，静态。非线性，定常，静态（4）a、各变量的幂指数均为 1，线性；b、变量 的系数 与时间有关，时变；dty)(tsinc、式中含有微分，动态。线性，时变，动态（7） .0)()(,0) )(1tytituI tuRtdRL时 ：、（ ；时 ：、（在一个正弦周期内，系统非线性、定常、动态。)(tL)(tyR1V2图 T2-1 交 流 电 路 系 统u(t)输 入 电 压 ； y(t)输 出 电 压 ；V1、 2理 想 二 极 管图 交 流 电 路 系 统输 入 电 压 ； 输 出 电 压 ；、 理 想 二 极 管非线性、定常、动态T2-2 已知动态系统对输入信号 u(t)的响应，试判断下列三个系统是否为线性的：（1） ；tduxty02)()(（2） ；tt0)(3)(（3） 。tt duexy0)()(解：先分清 和 这两个量： 为状态变量（初始状态或初始条件） ； 为输入变量。t0x tu零状态线性和零输入线性的判定方法：(I) 当 时，为零状态，对应的输出称为零状态响应，此时看输出 与输入 的关系是否满足线0x tyt性，若满足，则为零状态线性；(II) 当 时，为零输入，对应的输出称为零输入响应，此时看输出 与初始状态 的关系是否0tu t0x满足线性，若满足，则为零输入线性；(III) 当（I ） 、(II)都满足时，就既满足零状态线性又满足零输入线性。题号 分析 系统性质（1）a、当 时，为零状态，此时输出 与输入0xty满足线性关系，故满足零状态线性；tub、当 时，为零输入，此时输出 与初始0 ty状态 不满足线性关系，故不满足零输入线性；x综上 a、b 知，系统仅满足零状态线性。仅满足零状态线性（2） 分析方法同（1） 既满足零状态线性又满足零输入线性（3） 分析方法同（1） 既满足零状态线性又满足零输入线性T2-3 有一线性动态系统，分别用 时的输入 对其进行试验。它们的初始状态0t,0,321tut都相同，且 三种试验中所得输出若为 试问下列预测是否正确：,0x 。yt（1） ；则若 )()(,)( 213213 yttutu（2） ；则若 / t（3） ；则若 )(),(2121 tyttt（4） 。u则若如果 哪些预测是正确的？,0x解：因为系统为线性动态系统，所以不妨设： tduxty0)()(T2-8 已知线性动态系统的状态方程为 uxx10201Ty)(1；试求由单位阶跃 输入所引起的响应 。)(1tu)(t所处情况0x题号 分析 结果（1）采用叠加原理，的 存 在 ）只 因 为 0(),()(02 )(0)()( 2121 21)()(33 213 xtydux duxtyt ttutut 不正确（2） 系统线性 系统同时满足可加性和齐次性；商运算不在其中，故不正确。 不正确（3） 的 存 在 ）只 因 为， 0()2)(02 )(2)( 11 1)(221xtydux dutyt ttutt -不正确,0x此时： tduty0)()(（4） ，恒等。)()()()( 101)(022 12 tyduty ttut 正确（1） 与上一种情况比较 正确（2） 同上一种情况 不正确（3） 与上一种情况比较 正确,0x此时： tduy0)(（4） 恒等式 正确解：依题意，该线性系统的各系数矩阵为 ； 0110210 xcbA ； 21210)det(210)( sssAIsssI ； 22 )1()(001)()1(00)()2()( sssssAsIadj T； 212100)det()(1 sssAsIajsI查拉氏（Laplace）变换表得：状态转移矩阵（其中 为拉氏反变换的函数符号）；tttt eeAsILt 221100)( 1L.0 )(100101)()0( )(2)(222tt ttttttttte dteeeedtbucxt cy() 法 。已 掌 握 了 伴 随 矩 阵 的 求验 一 下 ， 看 看 自 己 是 否以 本 题 为 例 ， 同 学 们 检阶 行 列 式 的 值 。剩 下 的 （ 的 行 和 列 之 后 ，去 所 取 的 任 一 元 素 所 在阶 矩 阵 的 行 列 式 中 ， 划该为 元 素 的 余 子 式 ， 即 在其 中 ；为 该 元 素 所 在 的 列 数 ）为 该 元 素 所 在 的 行 数 ，（：如 何 计 算 即 得 所 求 伴 随 矩 阵 。第 三 步 ： 将 新 矩 阵 转 置 阵 ；并 将 此 矩 阵 命 名 为 新 矩 ，位 置 并 写 成 矩 阵 的 形 式取 代 其 对 应 元 素 所 在 的余 子 式第 二 步 ： 将 得 到 的 代 数 ；余 子 式行 列 式 中 所 对 应 的 代 数阶 矩 阵 中 每 一 元 素 在 其第 一 步 ： 先 找 出 该阶 矩 阵 的 伴 随 矩 阵 ？补 充 ： 如 何 求 )1nnMjiAAAnijjij ij ij-T2-11 已知线性动态系统中 032102031CBA，试求系统的传递函数 。)(sG解：依题意： ； ；32)det(01sAsIs所求传递函数T2-13 已知系统的传递函数为； 22 3)(1)(1)()2(3)( sssssAsIadj T.323210)()(032)det()(3 2ssssAsIBCajsG8147)(23ssaG求当 等于何值，系统传递函数将是不完全表征的。a解：依题意： .8147)det()( 23ssaAsIBCaj完 全 表 征 的 。消 ， 系 统 传 递 函 数 是 不此 时 系 统 有 零 、 极 点 对 为 二 阶 的 ： 且项 式时 ， 传 递 函 数 的 特 征 多当 ；系 统 是 三 阶 的 ： ；系 统 特 征 多 项 式 ： 324213 )()(8147et23 noransIsT3-1 对图 T3-1 所示系统，按传递函数方框图变换原则求出下列传递函数： UYGcc21；12344H2H1 1Y2U图 T3-1 单 输 入 系 统 方 框 图图 单 输 入 系 统 方 框 图解：解题之前，先总结一些方框图的变换规则： 错 误 而 人 为 规 定 的 ） 。（ 为 避 免 出 现 不 必 要 的 不 能 相 互 合 并支 点 之 间 不 能 交 叉 ， 也 、 注 意 ： 相 加 点 、 分 页 ） ；详 细 介 绍 请 查 阅 课 本 第 、 单 环 负 反 馈 ： 框 并 联 代 数 相 加 ； 、 方 框 串 联 相 乘 ， 方 ；前 （ 顺 ） 移 支 路反 （ 逆 ） 移 支 路： 、 分 支 点 对 对 方 框 ；前 （ 顺 ） 移 支 路反 （ 逆 ） 移 支 路：方 框 、 相 加 点 对 39(11GHGGc因为原系统简化方式有很多，所以笔者就不一一列举了，下面是笔者的一种解法，请参考。依题意，将原传递函数方框图简化为下图中的形式：4321G141214HH1Y2U 4G143213213243142132143211 )( HGGGGYc 143213213243412 HHUc T3-3 求出图 T3-3 所示四输入系统方框图的输入量 Y 的表达式。1G2G2HY1R图 T3- 四 输 入 量 的 系 统 方 框 图1H2R4RR图 四 输 入 量 的 系 统 方 框 图解：依题意，将原四输入量的系统方框图简化为下图中的形式： 1G21G1HY1R1H23R4122431213142121 )()()( HGRRHGRHGY T3-4(b) 已知一个电网络如图 T3-4(b)所示。试指出图中最多可划分为几个无负载效应的环节，求出该图的传递函数： sUGi0)(并说明负载效应对传递函数的影响。 1R2RCC0uu隔 离放 大 器1K(b)隔 离放 大 器解： 。消 除 环 节 间 的 负 载 效 应隔 离 放 大 器 的 作 用 ： 可 无 关 。而 与 环 节 外 部 所 接 负 载 结 构 与 参 数 ，输 入 变 量 及 环 节 自 身 的节 的 输 出 变 量 仅 决 定 于无 负 载 效 应 的 环 节 ： 环 程 的 分 流 效 应 与 损 耗 。负 载 效 应 ： 信 号 传 递 过先 介 绍 几 个 概 念 ：依题意，图(b)中最多可划分为 3 个无负载效应的环节： )1)(11)( 220 RsCsKsCRKsUsGi T3-5(b) 已知一个无源网络如图 T3-5(b)所示，试求传递函数： sUGi0)(R0u1u(b)L解：依题意，图(b)的传递函数： CLsRsLRsUGi 201)( T3-10 试根据图 T3-10 所示传递函数方框图画出对应的信号流图，并根据信号流图求出下列各个传递函数： sEYGsRsYGCBA )()()(；1G2H图 T3-10 传 递 函 数 方 框 图H)(sR )(sY图 传 递 函 数 方 框 图解：（a）先明确 表示的意思。sE表示误差信号，是输入信号与反馈信号的差值。sE（b）学会画信号流图。掌握信号流图的表示方法：在信号流图中只采用两种图形符号，即节点及节点之间的定向线段（两节点之间的定向线段又叫支路） 。其中，节点代表变量；支路表示信号的传递；支路上所标示的文字代表传递函数。根据传递函数方框图画出对应的信号流图的方法：1、先确定节点的个数：数出传递函数方框图（题中给出的图）中相加点数和分支点数的总和 n,再加 1(考虑信号输入处有一个节点)，即信号流图的节点数 N=(n+1)；此时就可以画出从输入到输出的一条通路。2、根据传递函数方框图上的传递函数以及信号传递方向在该通路的基准上正确表示出来。以本题为例确定节点数：N=3(相加点)+3（分支点）+1=7 （个）画出从输入到输出的一条通路： sR sY将传递函数以及信号传递方向在该通路上表示出来: 1GsR sY2HHsE11用 Mason 公式（请参考课本第 5557 页）求信号流图中的各传递函数：根据我们所画的信号流图知，从 到 只有一条通路： ；sY1GP环路共有三个，它们的环路传输分别为： .231HL； ；三个环路中，只有 与 不相互接触，特征式： 1L3 .)(1 3121；LL； 21211 GPsRYGA 系统从 到 只有一条通路： ； ；sRE1P3L;21211 HGHPGB .21sREYsCT3-11(b) 有一个信号流图如图 T3-11(b)所示。试利用 Mason 公式求总传输。U1GY11234H1(b)图