洪帆离散数学基础第三版课后习题答案

1第 1 章 集合1、列举下列集合的元素(1) 小于 20 的素数的集合(2) 小于 5 的非负整数的集合(3) 2|,10451iIii且答：(1) 37,9(2) ,2(3) 568,102、用描述法表示下列集合(1) 12345,a答： |,iIi(2) ,8答： 2|iN(3) 0,41答： |,50iZi3、下面哪些式子是错误的？(1) 答：正确a(2) 答：错误(3) 答：正确,(4) 答：正确a4、已给 和 ，指出下面哪些论断是正确的？哪些是2,34S,341Ra错误的？(1) 错误a2(2) 正确aR(3) 正确,43S(4) 正确1(5) 错误R(6) 正确aS(7) 错误(8) 正确R(9) 正确a(10) 错误S(11) 错误R(12) 正确3,45、 列举出集合 的例子，使其满足 ， 且,ABCABCA答： ， ，显然 ， ，显然 ，但是 。aaC6、 给出下列集合的幂集(1) ,b答：幂集 ,ab(2) 答：幂集 ,aa7、设 ，给出 和 的幂集Aa2A答： 2,8、 设 由 和 所表示的 的子集各是什么？应如何表示子128, 17B3A集 和2,67a3a答： 10148,B3310145678,Ba，2,67010aB1310160aB9、 设 ， ， ， ，确定集合：,U,A,25,4C(1) (2) (3) (4)AB()C()()()A(5) (6) (7) (8) (9) (10)()B2CAC答：(1) ，3,44A(2) ， ，1AB,5C()1,35C(3) ，2()1,2(4) ， ，,44A()()1,24AB(5) (6) ，()3,5AB ,35 ,35(7) ，1,2C()BC(8) ， ，4,(9) ， ，,A2,42C， ， 1,4AC(10) 2C10、 给定自然数集 的下列子集：N， ，1,78A2|50Bi|330Cii可 被 整 数 ，|2,6kDiZk求下列集合：(1) ()C答： ，1,2345,67B，0918,247,301,2486,3D()05689527,064ACD(2) B4(3) ()BAC解： ，0,1236,78912,5,427,30 ()4,5BAC(4) ()D解： ，,4AB()1,5,681,32ABD11、 给定自然数集 的下列子集N， ， ，|12n|8n|2,CnkN|,nkN|,Ek将下列集合表示为由 产生的集合：,ABDE(1) (2) (3) (4)2,4683910|369nn或 或(5) | 9nn是 偶 数 且 或 是 奇 数 且(6) |是 的 倍 数答： ，1,2345,6789,10A1,2345,678B， ，C 3,D E,B=369A=10()DE(4) |69nn或 或 369,102,3,9,12()AB(5) 24805,()()EADB(6) |68,430n是 的 倍 数 C12、 判断以下哪些论断是正确的，哪些论断是错误的，并说明理由。(1) 若 ，则aAB5答：正确，根据集合并的定义(2) 若 ，则aAB答：显然不正确，因为根据集合交运算的定义，必须 同时属于 和aAB(3) 若 ，则 a答：正确(4) 若 ，则AB答：错误(5) 若 ，则 A答：正确(6) 若 ，则aAB答：错误(7) 若 ，则答：正确13、 设 是任意的集合，下述论断哪些是正确的？哪些是错误的？说明理,ABC由(1) 若 ，则答：不正确，反例，设 ，则不论 是什么集合，都有 ，,BCABC但显然 不一定相等。,BC(2) 当且仅当 ，有 ；A答：正确，证明如下：若 ，则对 ，有 ，则有a，因此有 。反之，若 ，则 显然成立。aAB(3) 当且仅当 ，有B答：正确，证明如下：若 ，则对 ，因此 ，则 ，aABa则有 。若 ，则 ，有 ，因此由 ，可以得出Aa，因此 ，又 ，有 。a (4) 当且仅当 ，有C()AB答：不正确，因为 ，因此不一定需要满足 ，而若CAC也可以满足。例如： ， ， ，AB,abc,Bde,ab成立，而 不成立。()CA6(5) 当且仅当 ，有BC()AB答：不正确，因为若 ，有 成立，但是反之不成立，反例如CA下: ， ， ，而 ，1,2345A1,6,22,345B，但是 不成立。(),BCB14、 设 是集合，下述哪些论断是正确的？哪些是错误的？说明理由。,D(1) 若 ，则,ABC()ABD答：正确，证明：对 ，则 或 ，因为 ，因此aCaAC,ABD或 ，因此 ，即 成立。aD()(2) 若 ，则,ABC()ABD答：正确(3)若 ， ，则D()C答：正确(4) 若 ，则,ABC()ABD答：不正确。例如若 ，但是 ， ，则,ABD。()D15、 设 是两个集合，问：,AB(1)如果 ，那么 和 有什么关系？AB答：因为 ，而 ，即对 有 ，因此aB,Aa。(2) 如果 ，那么 和 有什么关系？AB答：充要条件是 。证明：因为 的 ，AB()()B从而有 ，即 ，同理可证明 ，因此 。A16、 设 是任意集合，下述论断哪些是正确的？哪些是错误的？说明理由。,7(1) 2ABB答：不正确。例如 ， ，则,ab,c,ABabc, ,ABacab，2b2,Bc显然 不成立。AB(2) 答：成立。证明：对 ，则 且 ，则 ，则ABC2ABC,ACB，因此 。反之，若 ，则 ，则 且C2，因此 ，且 ，因此 ，即 。BABAB2ABB(3) 2()A答：显然不成立，因为左边集合肯定含有 ，而右边不含有。17、 在一个班级的 50 个学生中，有 26 人在离散数学的考试中取得了优秀的成绩；21 人在程序设计的考试中取得了优秀的成绩。假如有 17 人在两次考试中都没有取得优秀成绩，问有多少人在两次考试中都取得了优秀成绩?答：分别用 表示在离散和程序设计的考试中取得优秀成绩的学生集合，,AB表示全体学生集合：则 ， ， ，则两U#()26A()1B#()50173AB次考试中都取得了优秀成绩的学生人数为 26+21-33=14 人。18、 设 是任意集合，运用成员表证明：,ABC(1) ()()()()AB 证明： CACB左边 右边0 0 0 1 1 0 0 0 0 00 0 1 1 1 0 0 0 0 00 1 0 1 1 1 0 1 1 10 1 1 1 1 1 0 1 1 11 0 0 0 0 1 0 0 0 01 0 1 0 1 1 1 0 1 11 1 0 0 0 1 0 0 0 01 1 1 0 1 1 1 0 1 18(3) ()()()ABCAC证明： ()()BAC()ABC0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 1 00 1 0 0 0 0 1 00 1 1 0 0 0 1 01 0 0 1 1 1 0 11 0 1 1 0 0 1 01 1 0 0 1 0 1 01 1 1 0 0 0 1 0由上得证左右两边相等。19、由 和 的成员表如何判断 ？应用成员表证明或否定 STST()()ABCAB答：先分别给出集合 和 的成员表如下：ABCB()()()ABCBA0 0 0 0 0 1 0 1 00 0 1 0 1 0 0 1 00 1 0 1 1 0 0 0 00 1 1 1 1 0 0 0 01 0 0 1 0 1 1 1 11 0 1 1 1 0 0 1 11 1 0 1 1 0 0 0 01 1 1 1 1 0 0 0 0观察上述表格，我们发现 所标记的列中，仅在第五列为 1，这()()ABC意味着当元素 且 时， ，而在其他情形下，,uu()AB元素 。而集合 所标记的列中，第五和第六行均为()()ABC1，这意味着 且 时， ，当 ，且 时，, ,uuC也有 。所以当元素 时也有 ，反之不然，u()()uABCAB因此 成立。()()ABC920、 为 的子集， 至多能产生多少不同的子集？12,rA U12,rA答：构造由 所产生的集合的成员表，显然该成员表由 个行所组成。,r 2r在该成员表中不同的列可由 为的二进制数 000 01111 1 分别表示，而不r 同的列所标记的集合 不相同的，因此由 至多可以产生 个不同的12,rA 2r集合。21、证明分配律、等幂律和吸收律 91 分配律 ()()()ABCC证明：对 ，则有 且 ，即有 ，且 或aaABaAB，也即有 或 ，即 ，因此左边 右()()C边。对 ，则 或 ，即 且 ，()()aABCaa或 且 ，即有 或 ，因此 ，因此右边 左B()AB边。2 吸收律 ()证明： 显然成立，对 ，则显然有 ，因此有ABaa，因此有 成立。()a()AB22、设 是任意集合，运用集合运算定律证明：,C(1) ()BAU证明：()()()BABU 左 边 右 边(2) ()()()()()()ABCCA证明： ()()()ABA左 边 右 边(3) ()()()()()()ABCBCA10证明：()()()()()()()BACABCBCABC 右 边由上题的证明可知左边=右边，得证。23、用得摩根定律