概率论与数理统计I复习资料

第一章 随机事件与概率一、填空题1. 写出下列随机试验的样本空间。（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分） ，则 = ；0,1inn（2）生产产品直到有 10 件正品为止，记录生产产品的总件数，则= ；,x为 整 数（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品” ，不合格的记上“次品” ，如连续查出 2 个次品就停止检查，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果，用 0 表示次品，1 表示正品，则 = ；0,1,0,10,1,1（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标，则 = ；2(,)1xy（5）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和，则 = ；348（6）将一尺之锤折成三段，观察各段长度，设 x,y,z 分别表示三段长度，则= ；,0,1xyzzxyz（7）在某十字路口，记录一小时内通过的机动车辆数，则 = ；0,2（8）记录某城市一天内的用电量，则 = 。x2. 设 A，B，C 为三件事，用 A，B，C 的运算关系表示下列各事件。（1） “A 发生，B 与 C 不发生 ”= ；（2） “A 与 B 都发，而 C 不发生”= ；（3） “A，B，C 中至少有一个发生 ”= ；(4)“A，B，C 都发生”= ；AB（5） “A，B，C 都不发生” = ；（6） “A，B，C 中不多于一个发生”=；（7） “A，B，C 中不多于两个发生 ”= ；（8） “A，B，C 中至少有两个发生”= 。3. 在抛三枚硬币的试验中，1 表示正面，0 表示反面，试写出下列事件的集合表示。（1） “至少出现一个正面”= ；（2） “最多出现一个正面” (0,),(1,),(1,),0(1,)= ；(0,),1(0,),（3） “恰好出现一个正面”= ；（4） “出现三面相同”=(1),0,()。(,),4. 设 ， 则1302,42xAxBx（1） ；2314BA或（2） 0x（3） ；2341xB（4） 0或xASB5. 设 A，B 为两事件且 P（A）=0.6，P（B）=0.7，则（1）当 时，P（AB）取到最大值，最大值= ；（2）当 时，P（AB）取到最小值，最小值= 。解：（1）观察上式，已知 P(A)，P(B)均固定，当 最小时，P(AB)最大。当BAP，即 时， 最小，此时，P(AB)取到最大值，最大为 P(AB)=P(A)BABA=0.6。（2）当 最大时，P(AB)最小。当 时， 取得最大值为PS1，此时，P(AB)取得最小值，最小值为 =0.6+0.7-BAPP1=0.3。6. 设 A，B，C 为三件事，且 P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,则A,B,C 至少有一个发生的概率= 。要点：用字母表示事件，是本课程入门的又一关键，由“至少”联想“ ”，进而想到公式： ()()()()()()PABCPBCABPCAPBC解：至少有一个发生： A()()()()()()115048PABCPBCABPCAPBC其中 ()()()07. 设 P(A)=P(B)=P(C)= ,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)= ,则事件 A,B,C 都不发生的概率= 4161。解：事件 A,B,C 都不发生： ABC ()()1()1()()()7462PABCPPBCAPBC8. 在电话号码簿中任取一个电话号码，则后面四个数全不相同的概率（设后面四个数中的每一个数都是等可能地取 0，1， ，9）= 。解：所有可能的种数为 10101010 种，后四个数全不相同的种数为 ，则所求410P概率为 。4106325P9. 在房间里有 10 个人，分别佩戴从 1 号到 10 号的纪念章，任选 3 个记录其纪念章的号码。则（1）最小号码为 5 的概率= ；（2）最大号码为 5 的概率= 。解 样本空间 的样本点总数为 。310C（1）最小号码为 5 是必须取到 5 号，而其余 2 人从 610 号中任取，故事件的样本点个数为 ，所求概率为25C23110/p（2）最大号码为 5，其余 2 人在 14 中选号，事件的样本点个数为 ，所求概率为 24C2310/C10. 10 个人随机地围一圆桌而坐，则甲、乙两人相邻而坐的概率= 。要点：先假定某人已坐好，再考虑其他人相对该人的坐法解：设甲已坐好，其余 个人相对甲的坐法有 种，甲乙相邻，乙有两种坐1n!n法，其余 个人的坐法有 种，故所求概率为 。2n2!2()1!10. 从 0,1,2,9 中任取 4 个数，则所取的 4 个数能排成一个四位偶数的概率。510()1()2CPA11. 有 5 条线段，其长度分别为 1,3,5,7,9，从这 5 条线段中任取 3 条，所取的 3 条线段能拼成三角形的概率 。35()PA12. 一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾。然后随机把六个头两两相接，六个尾两两相接，则放开手后六根草恰好连成一个环的概率= 。要点：“六个尾两两相接”不会影响是否成环，所以只需考虑“六个头两两相接”可能出现的情况。解：考虑头两两相接的先后次序，则“六个头两两相接”共有 种不同结果。而要成6!环则第一步从 6 个头中任取 1 个，此时余下的 5 个头中有一个不能相接，只可与余下的 4个头中的任一个相接，第二步从未接的头中任取 1 个，与余下的 2 个头中的任一个相接，这总共有 种可能接法，故所求概率为 。42 418!513在区间（0，1）中随机地取两个数，则两数之和小于 6/5 的概率= 。解：设 两数之和小于 6/5，两数分别为 ，由几何概率如图A,xy发生 1x0y6521()()SPA阴正 1714. 设 A,B 为随机事件，且 P(A)=0.5,P(B)=0.6, =0.8,则 = PA()PB。解： ，所以()()0.85.4PABP()06.715. 设 A,B 为随机事件，且 P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(AB)=0.6,则 P( )= BA。解： ，所以()()().43.1PABPAB。0.116. 已知事件 A，B 满足 ，记 ，则 = ()()()PAp()B。01y1yyx65解： ，由()()11()()PABPABPAB此得 ，所以 。10()()p17. 已知 ，则 = 。().7,(.3解：因为 ，所以.3)()0.7()PABPAB， ()0.41.618. 已知 ，则 = 。1,(),()32()B解： ，由乘法定理有：()4PA 12PAA又由 有：()B()/)6B1()(462319. 三人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为 1/5，1/3 ，1/4，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率= 。要点：“至少” 对立事件。解：三人能否译出相互独立，则三人都译不出的概率为(11/5)(11/3)(1 1/5)=0.4 ，至少一个译出的概率为 10.4=0.6。20. 设 两两独立的事件，且 。若 ，且,ABCABC()()1/2PABC，则 = 。()9/6P()P解： ()()()123()A.216()0或 ，由 .4P41()P1()4A21. 已知 （1）若 和 不相容，则 = ()0.,()0.7,ABB()P；（2）若 和 独立，则 = ； （3）若 ，则 = B。解：（1） ()()()(PPA0.74.3BB（由已知 ）AB（2） ()()PPAB0.74()PAB0.34()P10.6.32（3） ().22. 设在三次独立试验中，事件 A 出现的概率均相等且至少出现一次的概率为 ，2719则在一次试验中事件 A 出现的概率= 。解：设所求概率为 p，由题意有 = ，则 p=303)1(pC279323. 某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为 ，则此射手的命中率810= 。3224. 某盒中有 10 件产品，其中 4 件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为_，第三次才取得正品的概率为_.解：设 第 次取到正品， 则 或iA1,23i36()105PA3123 223()()PPA654644098098123().1A25. 三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球，1 个白球；第二个箱子中有 3 个黑球，3 个白球；第三个箱子中有 3 个黑球，5 个白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为_；已知取出的球是白球，此球属于第一个箱子的概率为_.解：设 取到第 箱 ， 取出的是一个白球iAi1,23B31 53()()|)()68120iiPBPA222|(|)()B26. 从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，这 4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是_.解法 1 样本点总数为 ，记 A=“4 只鞋子中至少有 2 只是一双” ，则对立事件10P=“4 只鞋子均不成双” ，故第一只鞋子是从 5 双（10 只）中任取一只，有 10 种取法，A第二只鞋子从剩下的 4 双（8 只）中任取一只，有 8 种取法，第三只鞋子从再剩下的 3 双（6 只）中任取一只，有 6 种取法，第四只鞋子有 4 种取法，故事件 所包含的样本点总A数为 10864，得解法 2 中个数是从 5 双不同鞋子中任取 4 双，再从每双中任取一只的不同取法的种数，A共有 种取法，故45C445103()1()2/PC27. 设在一次试验中，事件 发生的概率为 . 现进行 次独立试验，则 至少发生ApnA一次的概率为_，而事件 至多发生一次的概率为_.解：设 至少发生一次 B(),PB至多发生一次 C 1(1()nnCp二、计算题1. 据以往资料表明，某一 3 口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P孩子得病=0.6，P母亲得病孩子得病=0.5，P父亲得病母亲及孩子得病=0.4.求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解 ：设 A=“孩子得病” ，“母亲得病” ，“父亲得病” ，则所求概率为。已知 P(A)=0.6,P(BA)=0.5,P(CAB)=0.4,则由乘法定理有()PABC0.3PABPA12CB由 , ,有ABCCPAB0.312.8PABP2. . 已知在 10 只晶体管中有 2 只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率：（1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）第二次取出的是次品。解法 1：设 A=“2 正” ，B=“2 次” ，C=“一正一次” ，D=“第 2 次次” ，基本事件=“取一只，不放回，再取一只” ，S 中个数= ，可利用古典概型公式计算：210CAP中 个 数S中 个 数（1）中个数 ，于是28281045CPA10813()1()972P（2）中个数 ，于是2C21045CPB（3）中个数 ，于是18282106（4）“第一次取出正且第二次取出次”“第一次取出次且第二次取出次”中个数 ，于是1182C11820/5CPD解法：设事件如解法，又设 =“第一次正” ， =“第 2 次正” ，则 =“第 1 次1AAA次” ， =“第 2 次次” ，用乘法公式算A（1） 12121875628094PP（2） 1BAA（3） 12121212CPA1211210PP869045（4） 21212DAA121121089053. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率，若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解法 1 设 Ai=“第 i 次接通电话” （i=1，2，3） ，A=“拨号不超过 3 次接通所需电话” ，则 ，故所求概率123112123PAPA9800解法 2 “拨号不超过 3 次就接通”的对立事件是“拨号 3 次都未接通” ，于是121312PAA9873101设 B=“已知最后一个数字式奇数，不超过 3 次拨通” ，则43215PB4.（1） 设有甲、乙两袋，甲袋中装有 n 只白球，m 只红漆；乙袋中装有 N 只白球、M 只红球，今从甲袋中任意取一只放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球。问取到白球的概率是多少？（2） 第一只盒子装有 5 只红球，4 只白球；第二只盒子装有 4 只红球，5 只白球。先从第一只盒子中任取 2 只球放入第二只盒子中去，然后从第二只盒子中任取一只球，求取到白球的概率。要点：从题中“嗅出”划分，把“全”公式写出来，剩下就简单了。解：（1）设 B1=“从甲袋中取到白球” ，B 2=“从甲袋中取得红球” ，则 B1，B 2构成一个划分，“从乙袋中取得白球” ，由全概率公式12PAPA1NnNmMn（2）设 Bi=“从第一只盒中取到 i 只白球” ，i=0，1，2，则 B0，B 1，B 2构成一个划分，设 A=“从第二个盒中取得白球” ，则由全概率公式知012BPAP2125544299967531CC 5. 设一人群中有 37.5%的人血型为 A 型，20.9%为型，33.7%为 O 型，7.9%为 AB 型，已知能允许输血的血型配对如下表，现在在人群中任选一人为输血者，再任选一人为需要输血者，问输血能成功的概率是多少？受血者受血者输血者A 型 B 型 AB 型 O 型A 型 B 型 AB 型 O 型 ：允许输血 ：不允许输血解：设 分别为 A，B，O，AB 型输血， 分别为 A，B，O，AB1234,A1234,B型受血，则 12341234P输 血 成 功 142314B 132 13234APABPABPAB1132233323461.98%PABPABP6. 某种产品的商标为“MAXAM” ，其中