张量分析-PPT（精）

张量分析,2,06:26,主 要 内 容,1 基矢 张量 正交变换2 二阶张量及其若干基本运算法则,3,06:26,1 基矢 张量 正交变换,1.1 字母标号1.2 求和标号 求和约定1.3 自由标号1.4 克罗内克尔代尔塔ij1.5 排列(置换)符号1.6 余弦变换矩阵,4,06:26,1.7 一阶基矢及其坐标变换1.8 一阶张量不变量1.9 二阶基矢及其坐标变换1.10 二阶张量不变量1.11 张量的记法,1 基矢 张量 正交变换 (续),5,06:26,1.1 字母标号,为了书写简洁，便于采用求和约定，在张量记法中均采用字母标号，即将某一物理量的所有分量用同一个字母表示，并用标号(指标)区别其中的各个分量。例如将x, y, z写成x1, x2, x3, 用xi(i=1, 2, 3)表示； 用 表示；位移ui；应力ij；应变ij；,6,06:26,在同一项中，重复出现两次的字母标号，称为求和标号，它表示将该标号依次取为1,2,3时所得的各项之和，这就是求和约定。例如 求和标号又称“哑标”或“伪标”。,1.2 求和标号 求和约定,7,06:26,求和标号已不是用以区分该标号所表示的各个分量，而是一种约定的求和标志，因此可选用任何字母而不会改变其含义；亦即求和标号可任意变换字母，如,8,06:26,如果标号不是字母，而是数字，则不适用求和约定，如,(求和约定),其中 (不求和),另外 应写成 ，不能写作 ，因为后者的标号重复了4次。两矢量的点乘积应写成,9,06:26,同一项内不重复出现的标号，叫做自由标号。可取1,2,3。如ij表任一个应力分量。同一方程中，各项自由标号应相同，而且应理解(约定)为该方程对自由标号的约定域均成立。如ai=bijcj为下列方程的缩写,1.3 自由标号,10,06:26,下列方程组,同一方程中，不能任意改变其中一项或部分项的自由标号；若有必要，须将各项的自由标号同时改变。,11,06:26,ij表九个量，并规定,克罗内克尔代尔塔(Kronecker )。它与另一个带字母的量(包括自身)相乘时，将该量中的求和标号丢掉而用ij中的另一标号代入。因此,1.4 克罗内克尔代尔塔ij,12,06:26,(a),(b),(c),(c)式可用于改变标号的字母，如,13,06:26, 因为aii=ajj=ajkjk，则 对于点的坐标xi有 有如下关系上式亦可作为ij的定义。,(d),(e),(f),14,06:26,设 为笛卡尔坐标系的基矢， 为该坐标系转动后的基矢，令,(g),为 和 夹角的余弦；则可证明,15,06:26,1.5 排列(置换)符号,排列(置换)符号的定义,当i, j, k按1, 2, 3顺序时(顺循环),eijk有27个量，其中6个不为零。其标号中，每相邻两个互换一次位置，改变一次正负号。位置变换偶次，不改变它的正负号；标号位置变换奇次，它将改变正负号。如,当i, j, k按3, 2, 1顺序时(逆循环),当i, j, k有重复标号时(非循环),16,06:26,根据 叉积的定义，有,当i, j, k为顺循环,当i, j, k为逆循环,当i, j, k为非循环,17,06:26,易证,上式亦可作为eijk的定义。,18,06:26, eijkij恒等式,根据行列式的运算法则，可得,注意，上面第一式中行序号为顺循环，第二式中列序号为顺循环。因此当原行列式中的行或列任意调换位置时，所得新行列式值为,(按行展开，共六项),(按列展开，共六项),或,19,06:26,或,因为 ，据,则有,20,06:26,上式行列式中，列序号为顺循环；若将其中的列任意变换位置，所得到的新行列式为,由此可得eijk和ij的关系为,21,06:26,当i=r时，得到,由上式又可得,22,06:26,联立求解,或,得,23,06:26,1.6 余弦变换矩阵,设 及 分别为笛卡尔系，则,为 与 间的夹角。表为“定义为”； 共九个分量。于是有,24,06:26,若将 排成矩阵 ，称为余弦变换矩阵；而据上式应有,因为 ，则有(板书演示),或,根据 ，可见,25,06:26,余弦变换矩阵为正交矩阵。故这种余弦变换又称正交变换。又,26,06:26,当 时，称为正常(或正向)正交矩阵；当 时，称为非正常(或负向)正交矩阵。,Q1和Q2 均为正交矩阵，并设Q=Q1Q2，则,正交矩阵之积仍为正交矩阵。,27,06:26,1.7 一阶基矢及其坐标变换,A. 笛卡尔坐标系的基矢,笛卡尔坐标系内点的坐标xi ，其基矢为 。当坐标为固定坐标系时， 是不因xi和时间而改变的矢量，且 。笛卡尔坐标系内点的位置矢为,于是,28,06:26,可将上式作为坐标系基矢的定义。基矢乃是与坐标线相切并指向坐标线正向的矢量。 显然，笛卡尔坐标系的基矢为没有量纲的单位矢量。,29,06:26,B. 正交曲线坐标系的基矢,设i表曲线坐标，在曲线坐标系内，点的位置矢为,于是，曲线坐标的基矢为,不一定是单位矢量，同时因i的量纲不一定是长度，因此， 不一定是无量纲量。,30,06:26,则 ，且为无量纲量，其方向随坐标i 而变，即 。i 表它即不是和i重复(求和标号)，也不是独立存在(自由标号)，而是同i一道变化的可称随从标号。于是,设以Hi 表 的模(量纲与 同) ，即,拉梅(Lame)系数。令,31,06:26,称为正则化的基矢(以后简称基矢或物理标架)。对于正交曲线坐标，它也是正交单位矢量，故有,和 称为一阶基矢。,32,06:26,C. 一阶基矢的坐标变换,a. 笛卡尔坐标系基矢的变换 已知,其矩阵形式为,称为余弦变换矩阵。求上式的逆，得,或,33,06:26,以上各式称为一阶基矢 和 之间的一阶余弦变换，简记为,34,06:26,例，笛卡尔坐标系A和B，由图可见,35,06:26,则,因,为非正常正交矩阵。,36,06:26,b.正交曲线坐标系与笛卡尔坐标系基矢的变换,已知,设,故有,37,06:26,角标C曲线坐标，D笛卡尔坐标。因 亦为正交单位矢量，故易证明, 为正交矩阵。亦有,38,06:26,例，圆柱坐标系如图示，同时标出笛卡尔坐标系。此处,39,06:26,由图可见,40,06:26,41,06:26,于是,故,42,06:26,一阶基矢的性质：,线性独立。设,与标量之积服从交换定律。设k为标量，则,服从一阶余弦变换,或,，则,43,06:26,设有一系列不同的坐标系，其基矢分别为 等，其中可包括正交曲线坐标系的基矢。于是,D. 基矢的连续变换,又,44,06:26,例，A为笛卡尔坐标系，B为圆柱坐标系，C为球坐标系。,45,06:26,由图可见,46,06:26,又知,笛卡尔坐标系与圆球坐标系的基矢变换矩阵为,47,06:26,1.8 一阶张量不变量,表示(Xi)与基矢 相关连。于是，若有,此处,设,则有,48,06:26,实际上，由 及 ，有,由vi与 组成的线性组合不因坐标系而变化，称为一阶张量或矢量。凡不依赖于坐标系的量或一些量的组合，称为不变量。标量也是不变量。因为它不与任何基矢线性组合，故称零阶张量。,49,06:26,则可证,及,类似地，设,显然，以上陈述的逆陈述也成立，即若 (不变量)，则其分量 及 必满足一阶余弦变换规律，即,50,06:26,1.9 二阶基矢及其坐标变换,同一坐标系内，定义 或 为二阶基矢，亦称为基矢的并乘，双乘或外乘，有时也叫做并(基)矢。设坐标A和B的二阶基矢分别为 和 ，则有,类似地有,51,06:26,上列关系称为二阶余弦变换，简记为,二阶余弦变换亦可用矩阵表示,因 和 均为正交矩阵，故上式可求逆,52,06:26,二阶基矢有下列性质：线性无关。设,标量乘子的可交换性。设k为标量，则有,或,则,服从二阶余弦变换。,53,06:26,1.10 二阶张量不变量,设,则有,及,54,06:26,实际上,故 是不变量，称为二阶张量。二阶张量也常称仿射量。,55,06:26,更高阶的基矢、更高阶的张量及变换规律有类似的情况。例如三阶基矢定义为 ，它服从三阶余弦变换规律,简记为,且,56,06:26,则可证,上述结论亦适用于正交曲线坐标系。常用的是二阶张量。易证， 及 分别为二阶张量和三阶张量，称为单位张量和置换张量，分别记为 和 。,57,06:26,1.11 张量的记法,张量是与坐标系选择无关的不变量，可以独立于坐标系来表述，该记法称为直接记法。实际计算中，张量要与一定的坐标系相关连，并用该坐标系的分量来表示，称为分量记法。可将张量的分量作为矩阵的元素，用矩阵表示张量，称为矩阵记法。,58,06:26,例如,59,06:26,Bij称为张量 在 和 方向的切分量或交叉分量(当ij)或正分量(当ij，记作Bii)。当张量在任何方向上均有Bii0时，称为正定张量， Bii0时，称为半正定张量。可证，设 ， 为正交单位矢，则有,60,06:26,注意张量不能与它的分量记法、矩阵记法混同，前者与坐标系无关，后两者则只是给定坐标系内张量的一种表达；坐标系改变，其分量及矩阵相应地变化。张量可用矩阵表示(与给定坐标系相关连)，但矩阵却不一定是张量在相关坐标系内的表达。同一张量可因坐标系不同而有不同的分量表示。,61,06:26,讨论张量在两个坐标系的表述时，可将张量及其及分量加以角标以示区别，如,此处，,62,06:26,2 二阶张量及其基本运算法则,2.1 张量的升阶和降阶2.2 张量的代数运算2.3 几种特殊张量2.4 张量的分解2.5 张量的主方向2.6 张量的不变量2.7 凯莱-哈密尔顿定理2.8 张量函数,63,06:26,2.1 张量升阶和降阶,2.1.1 张量的外积 张量的升阶,2.1.2 张量的内积 张量的降阶,64,06:26,2.1.1 张量的外积 张量的升阶,设有,则它们的外积为,65,06:26,令Dijk=AiBjk，则当坐标系变换时，有,Dijk=AiBjk是三阶张量的分量。因此, 两张量的外积为更高阶的张量，其阶数等于并乘各张量阶数之和；称为张量的升阶。,66,06:26,利用已知外积升阶后的三阶张量分量表达式，令i=j，则有,2.1.2 张量的内积 张量的降阶,67,06:26,矢量与二阶张量的内积为一阶张量，即两张量的内积将得到更低阶的张量，其阶数等于内积各张量阶数之和减2。实际上，在张量(阶数2)的分量中，令其中任两个脚标字母相同，就得到低二阶的张量。这称为张量的降阶。,68,06:26,例如，设,又设,(升阶),令i，j，k，l中的任意两个标号相同，将得到下列诸二阶张量(证略)：,69,06:26,设 和 为不低于s阶的张量，则定义 的s次缩并为,当s=2时，则记为双点积形式,而一次缩并为,70,06:26,三点注意：已知张量的内积为张量，即设 、 为任意阶张量，则其内积为,亦为张量。其分量为,于是可证(略)，若 (或 )及 为张量，则 (或 )亦为张量，称为商法则。,71,06:26,矢量与二阶张量的内积为一阶张量(矢量)，因此，可以将二阶张量看作一种变换因子，它可将一个矢量变换为另一个矢量。一般地两个矢量的方向和大小均不同。特殊情况下，两个矢量的大小相同(刚性变换)或方向平行(二阶张量的主方向)。,72,06:26,从张量 和 的内积运算,因此有,上式与矩阵乘法相同 的矩阵 = 与 两张量的矩阵之积。于是可以用矩阵的代数运算法则定义张量的运算法则(这里仅限于二阶张量与及矢量)。,73,06:26,2.2.1 内积2.2.2 转置(限于二阶张量)2.2.3 求迹(限于二阶张量)2.2.4 标积2.2.5 求模(范数)2.2.6 行列式2.2.7 求逆,2.2 张量的代数运算,74,06:26,2.2.1 内积,75,06:26,在应用矩阵运算法则求张量的内积时，如果内乘张量包含有矢量，则应注意以下规则，以符合矩阵的运算规定。,76,06:26,2.2.2 转置(限于二阶张量),77,06:26,78,06:26,2.2.3 求迹(限于二阶张量),79,06:26,80,06:26,2.2.4 标积(乘积为标量),81,06:26,82,06:26,83,06:26,2.2.5 求模(范数),84,06:26,85,06:26,2.2.6 行列式,86,06:26,以后将证明，I1、I2、I3为 的三个不变量，有时记为I1( )、I2 ( ) 、I3 ( )。,87,06:26,2.2.7 求逆,88,06:26,89,06:26,上式中，令 再与行列式公式中最后的公式比较，可得 及 的三个不变量之间关系,90,06:26,此处 为 的三个不变量。由上式还可求出,91,06:26,2.3.1 对称张量和反对称张量2.3.2 球张量和偏张量2.3.3 正交张量2.3.4 相似张量2.3.5 置换张量2.3.6 各向同性张量,2.3 几种特殊张量,92,06:26,2.3.1 对称张量和反对称张量,反对称张量,(记为 ),(记为 ),若 ，则有,对称张量,93,06:26,(用到 ),设 为任意矢量，则由,给出的 恒为反对称张量。由上式可得,称上式中的 和 互为对偶反对称张量的三个不为零的分量构成一个矢量；该矢量称为反对称张量的轴矢量。,94,06:26,95,06:26,!,设 和 互为对偶，即,则可证明,96,06:26,偏张量迹恒为零的张量，记为 。,球张量任一标量与单位张量相乘所得的张量，,记为 。,易证,2.3.2 球张量和偏张量,97,06:26,设矢量 经二阶张量 变换后，所得矢量的模不变，则称 为正交张量。若设,则有,因上式对任何 均成立，因此必有,2.3.3 正交张量,98,06:26,或,这正是正交张量成立的条件。因为,所以,99,06:26,时，称为正常正交张量或完全正交张量； 时，称为非正常正交张量。,因正交张量不改变矢量的模，故属刚性变换。在三维空间内，完全正交张量对应于线段(矢量)的旋转，故又称为转动张量；非正常正交张量则相当于镜射，故称为反射张量或翻转张量。,100,06:26,设,若有 ( 为正交张量)，则称 和 互为相似张量或正交相似张量。它们之间满足下列条件,2.3.4 相似张量,101,06:26,证 实际上,是任意矢量，故有,102,06:26,相似张量的几何意义(略),任意张量正交变换所得的映象，与该第量互为正交相似张量。,易证,刚性(正交)变换不改变张量的模(范数)，或者说，两相似张量的模相等。,103,06:26,在此补充说明它的若干性质。,在二维空间内，置换张量只有二个可变脚标，可记为,A. 二维空间,这是一个反对称张量。而任意反对称张量 均可写成,(为某一标量),2.3.5 置换张量,104,06:26,展开 ，得,从而可证,105,06:26,B. 三维空间,对一任意 ，则由下式给出的张量均为反对称张量：,此时必有,称 和 对偶。其它公式见2.3.1中有关对偶的公式。其中特别地， 时，则有,106,06:26,107,06:26,是各向同性张量， 也是各向同性张量。(证略),分量不因坐标系的改变而变化的张量。,是各向同性二阶张量， 亦是各向同性二阶张量。(证略),A. 二阶各向同性张量,B. 三阶各向同性张量,2.3.6 各向同性张量,108,06:26,C. 四阶各向同性张量,的下列组合，构成三个线性无关的四阶各向同性张量。,最一般的四阶各向同性张量为,109,06:26,展开 ，得,从而可证,110,06:26,2.4.1 加式分解之一2.4.2 加式分解之二2.4.3 极分解(乘法分解),2.4 张量的分解,111,06:26,任意张量 恒可唯一地分解为一个对称张量和一个反对称张量之和(称加式分解定理),其中,2.4.1 加式分解之一,易证,112,06:26,任意张量 恒可唯一地分解为一个球张量和一个偏张量，设 ，即,显然,2.4.2 加式分解之二,113,06:26,其中 可求逆， 为正交张量， 、 为正定对称张量。由此可得,2.4.3 极分解(乘法分解), 和 互为相似张量。,114,06:26,2.5 张量的主方向,A. 张量主方向的定义B. 坐标变换不改变张量的主值C. 主方向D. 主方向的坐标系E. 张量乘幂的主方向和主值F. 相似张量的主值和主方向,115,06:26,显然， 依赖于 和 ，而且一般地， 。若对于给定的 ，存在方向 ，使得 ，则称 为 的主方向。故 应满足条件,为给定张量(仅限三维空间)， 为某 单位方向矢，则 经 变换后的映象(矢量)为,A. 张量主方向的定义,由上式可得 的特征方程,116,06:26,展开上式，得,式中,特征方程的根1、 2、 3称为 的主值，可记为B1, B2, B3。,117,06:26,B. 坐标变换不改变张量的主值,坐标系A中，,此处将 约定写成张量 。在特征方程左侧各乘 和 ，得,坐标系B中，,坐标系变换，不会改变张量的主值。,118,06:26,求出 三个主值Bi(i=1，2，3)后，则由特征方程(Bijij)nj=0(=Bi)及nini =1，可以求出三个特征方向ni(i=1，2，3) ，即有,上式两侧各乘 ，得,C. 主方向,若 是对称的，则有,119,06:26,当 ，表明 和 正交。故若对称张量 的三个主值不等，则三个主方向恒为正交且唯一确定。当 但不等于第三个主值时，则 间可为任意交角，但与第三个主方向正交。当三个主值都相等时，则任何方向都是主方向， 为各向同性张量。,120,06:26,以三个主方向 为坐标系的标架，则张量 在主方向坐标系内的分量为,故在主方向坐标系内，对称张量的矩阵为对角矩阵，例如,D. 主方向坐标系,121,06:26,设 的主值为，则有,在上式两侧前乘 ，则有,E. 张量乘幂的主方向和主值, 和 的主方向重合， 的主值为 的主值的平方。类似地可证 的主方向与 的主方向相同，但主值为n(n为正整数)。,122,06:26,又因,故,(为 的主值),123,06:26,结论： 若 的主值为 ，则 的主值为 ，n为任意数。但当n为分数时，则 应有条件，例如n=1/2时，0，即 是正定的。设 的三个主值为B1，B2，B3，则 的三个主值为 。,124,06:26,对于 ，主方向应满足,上式左侧前乘 (正交张量), 并注意到 ,可得,F. 相似张量的主值和主方向,或,125,06:26,相似张量 的主值与 的相同，但主方向将因 而转动(设 )。这与前面所指出的“相似张量乃张量刚性变换的结果”一致。可证，张量 及其偏张量 的主方向重合，主值相差 。,126,06:26,2.6 张量的不变量,张量本身是不变量，即组合 。下面讨论与坐标系无关的张量分量之间的组合，称为张量的不变量。对于三维空间的仿射量，只有三个独立的不变量。它们可表为张量主值的某种对称函数。下面介绍三组不变量。,127,06:26,第一组：以张量的三个主值为不变量。例如B1、 B1、B1。,第二组：,128,06:26,第三组：以特征方程的三个系数作为不变量,其中I1、I1和I1称为 的主不变量，并分别称为一次、二次和三次不变量。有时，为了区别，记为 、 和 。,129,06:26,对于偏张量有类似的结果，只不过偏张量的迹为零。因此上式变为,注意到,130,06:26,可以求出,据 ，得,131,06:26,2.7 Cayley-Hamilton定理,张量本身满足它特征方程。例如，对于三维空间内的张量 它必须满足下列C-H方程。,其中的系数由上节有关式子确定。(证略),132,06:26,C-H定理最深刻地反映了二阶张量的内在结构性质。下面列举它的若干应用结果。在二维空间， 满足C-H方程,式中,(a),133,06:26,若 可逆，则以 乘(a)式，可以求出 的逆,若 可逆，则其逆为,134,06:26,在三维空间， 满足C-H方程,其中 ，另外对上式求迹，并根据下式消去 及I1，,可得,135,06:26,实际上，在n维空间内，二阶张量 的主不变量和幂迹数之间有如下的逆推关系：,例如，三维空间(n=3)，m=3时，,m=2时，,136,06:26,以张量为自变量的函数。又可分两大类：标量值张量函数其值为标量。记为 。张量值张量函数其值为张量。记为 。下面只讨论自变量及函数均为二阶张量的情况。,2.8 张量函数,137,06:26,设,具体例子如,A. 标量值张量函数及其导数,式中I1、I2 、I3为张量的主不变量。,138,06:26,其中 为给定的张量。,线性标量值张量函数为张量的线性组合。如,标量值张量函数的导数为二阶张量，记为,139,06:26,求 导数的方法有两种：直接写出 用其分量Bij表示的式子，再按通常的求导方式求导。用内含方式一次确定 。先将函数 写成 ，于是,140,06:26,在上式中之所以取标积，因为F和h均为标量，所以dF/dh亦为标量。另外，直接求上式的左侧，进行比较，即可得到 表达式。例如，设 ，则,式中I1、I2 、I3为张量 的主不变量。,141,06:26,由两次导数表达式比较后，由于 为任意张量，可得,由上式可得 之逆的另一种表达式,142,06:26,设,B. 张量值张量函数及其导数,例如,143,06:26,式中Ck为常量或张量 的标量函数。在如上定义张量的幂级数后，便可把复