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第0章 矢量分析基础,一、矢量和标量的定义,1.标量：只有大小，没有方向的物理量。,矢量表示为：,所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。,其中： 为矢量的模，表示该矢量的大小。 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。,2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。,如:力 、速度 、电场 等,如：温度 T、长度 L 等,二、矢量的运算法则,1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。,a.满足交换律：,b.满足结合律：,三个方向的单位矢量用 表示。,根据矢量加法运算：,所以：,在直角坐标系下的矢量表示:,其中：,矢量：,模的计算：,单位矢量：,方向角与方向余弦：,在直角坐标系中三个矢量加法运算：,2.减法：换成加法运算,逆矢量： 和 的模相等，方向相反，互为逆矢量。,在直角坐标系中两矢量的减法运算：,3.乘法：,（1）标量与矢量的乘积：,（2）矢量与矢量乘积分两种定义,a. 标量积（点积）：,在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即,有两矢量点积：,结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。,推论1：满足交换律,推论2：满足分配律,推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。,推论1：不服从交换律：,推论2：服从分配律：,推论3：不服从结合律：,推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。,b.矢量积（叉积）：,含义： 两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。,在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：,两矢量的叉积又可表示为：,（3）三重积：,三个矢量相乘有以下几种形式：,矢量，标量与矢量相乘。,标量，标量三重积。,矢量，矢量三重积。,a. 标量三重积,法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。,定义：,含义： 标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积 。,注意：先后轮换次序。,推论：三个非零矢量共面的条件。,在直角坐标系中：,b.矢量三重积：,4. 矢量的微积分,(a) 矢量的微分,只要把矢量的性质应用于标量的导数公式即可：,作为(1)式的特例，对直角坐标下的矢量：,有,作为(2)式的例子，在球坐标下的矢量：,有,(b)矢量的积分,（1）对时间 t 的积分：,（2）沿曲线 s 的线积分：,例2：,解：,则：,设,例3： 已知,求：确定垂直于 、 所在平面的单位矢量。,已知A点和B点对于原点的位置矢量为 和 ，求：通过A点和B点的直线方程。,例4：,其中
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