石大概率PPT演示课件

.,1,课 前 复 习,一、数学期望,（连续型情形）设 X 为连续型随机变量，其分布密度为 f(x)。如果 绝对收敛，则称其为 X 的数 学期望，记为 EX。即,（离散型情形） 设离散型随机变量 X 的分布律为 如果 绝对收敛，则称其为 X 的数学期望或均值，记为EX。即,.,2,练 习,求几何分布的数学期望：,解,.,3,例4 在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验 N 个人的血，可以用两种方法进行：(1)将每个人的血分别去验，这就需要 N 次；(2)按 k 个人一组进行分组，把从 k 个人抽来的血混在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明 k 个人的血都呈阴性反应，这样这 k 个人的血就只需化验一次，若呈阳性，则再对 k 个人的血液分别进行化验，这样，k 个人的血总共要化验 k+1 次，假设每个人化验呈阳性的概率为 p，且这些人的试验反应是相互独立的。试说明当 p 较小时，选取适当的k，按第二种方法可以减少化验的次数。并说明 k 取什么值时最适宜。,.,4,解 各人的呈阴性反应的概率为 q=1-p，因而 k个人的混合血呈阴性反应的概率为：qk.,k个人的混合血呈阳性反应的概率为：1-qk.,X的数学期望为,N人平均需化验的次数为,.,5,故只需选取适当的k使,则N人平均需化验的次数 N,这时就得到最好的分组方法。,如在 p=0.1(此时q = 0.9),当 k=4 时，L取到最小值。即4人为一组最好。若N=1000，按第二种方法只需化验,.,6,例5.设随机变量 X 的分布律如下，问EX是否存在？,解：因为,所以 X 的数学期望不存在。,例6.求均匀分布U(a,b) 的数学期望。,解：均匀分布的分布密度为,故,.,7,故,由此可知正态分布中的第一个参数 正是它的数学期望。,例6.求正态分布 的数学期望。,解： 的分布密度为,.,8,二.随机变量函数的数学期望,(2)X 是连续型随机变量且概率密度为 f(x)。 如果 绝对收敛，则有,1.一维情形,注：定理证明略，此结论表明，在求 E(Y) 时，不必先算 出 Y 的分布，只需利用 X 的分布即可。,定理 设Y是随机变量X 函数，Y=g(X) , （g是连续函数） (1)X 是离散型随机变量且分布律为 如果 绝对收敛，则有,.,9,2)设(X,Y)为二维连续型随机向量，其分布密度为 ，Z是 X，Y 的函数 ，则,1.二维情形,.,10,解：,.,11,例6.设 Xb(n, p), 求EY .,解 由于,故,于是，由随机变量的函数求期望的公式，得,.,12,例9 某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品 的产量，他们估计出售一件产品可获利 m元，而积压一 件产品导致 n 元的损失，再者他们预测销售量Y（件） 服从指数分布，其概率密度为,问要获得利润的数学期望最大，应生产多少产品？,解 设要生产 x 件产品，则获利 Q 是 x 的函数。,可见 Q 是 r.v. Y 的函数,其数学期望为,.,13,.,14,解：,.,15,三数学期望的性质,(1)设 C 为常数，则 。,(3)设 X、Y为两个随机变量，则,(4)当随机变量 X 与 Y 相互独立时， 。,注：对有限个相互独立随机变量之积的情况亦成立。,(2)设X 随机变量设 C 为常数，则,.,16,例11. 求二项分布的数学期望。,解：本题利用性质来求数学期望。,设,则 服从两点分布，故 。,设,，则,故,本题中随机变量分解的方法是解题中常用的一种方法。,.,17,1）两点分布：,常见分布的数学期望。,3）泊松分布：,5）指数分布：,4）均匀分布：,2）二项分布：,6）正态分布：,另柯西分布的期望不存在。,.,18,例12 一民航送客车载有20位旅客自机场开出, 旅客有10个车站可以下车, 如到达一个车站,没有旅客下车, 就不停车,以 X 表示停车的次数,求 EX (设每位旅客是否下车相互独立)。,解：设,则 同分布,共同的分布为,.,19,解：由于,例13 设随机变量 X 、Y相互独立，且它们的分布密度分 别为,求 ， 。,又由X 、Y 相互独立，,.,20,于是,例14.设 X, Y 相互独立，同服从正态分布 求E|X-Y|。,解：由独立性，知 X, Y 的联合密度为,.,21,解法2 由正态分布的可加性知,例14.设 X, Y 相互独立，同服从正态分布 求E|X-Y|。,.,22,注（1）当 Y= y 给定时，条件期望是一个确定的数。,记,条件数学期望（简介）,（2）当 y 变动时，条件期望 E(X|Y=y) 是y的函数。,结论 ：,定义（条件数学期望） 设随机变量 X 在 Y= y 下的条件 密度函数为 若 绝对收敛， 则称其为在Y= y 的条件下 X的条件数学期望或均值， 记为 E(X|Y=y), 即,（证明略）。,.,23,引例.有甲、乙两名学生，考试成绩分布如下表,试问哪一位学生成绩较稳定？,又若丙的成绩分布如下, 问谁的成绩最稳定?,由上可见,要描述一个r.v.,仅用均值还不够,往往需要考虑r.v.取值的波动情况. r.v.取值的波动情况不仅与r.v.的取值有关,也与取值的概率有关.,第二节 方 差,.,24,1.方差的定义,注 方差描述了r.v.取值偏离其数学期望的变化情况。 若 X 取值越集中，则 DX 越小；反之，则 DX 越大。,在引例中,可见学生丙成绩最为稳定。,.,25,注 随机变量 X 的方差 DX 其实就是一个随机变量的函 数 的数学期望，因此要求方差只 需求 的数学期望即可。,注 任何一个随机变量的方差都是非负的，即 。,注 若 X 为离散型随机变量，则,若 X 为连续型随机变量，则,定理（方差计算公式的常用形式）,证明：,.,26,3.几种常见分布的方差 例1 (1) 两点分布; (2) 泊松分布。,解：两点分布的分布律为,解2)泊松分布的分布律为,.,27,由此可知，对于服从泊松分布的随机变量，它的数学期望与方差相等，都等于参数 。因为泊松分布只含一个参数，因而只要知道它的数学期望或方差，就能完全确定它的分布了。,例2.求均匀分布的方差。,解：均匀分布的分布密度为,.,28,例3.求指数分布 的期望和方差。,解 的密度为,两边关于 求导,.,29,2.方差的性质, 设 为常数，则 。, 设 为常数，X 为随机变量，则 。,证,（因为 ）,（3）设X为随机变量，c 为常数，且 则,注:此性质称为方差的最小性.,.,30,（4）设X、Y 为两个r.v.，则,注：对有限个相互独立随机变量之和,有类似的结论。,（5）设 X 为随机变量，则 ，C 为 一常数。,特别若X、Y 为相互独立，则,.,31,注：称 为 X 的标准化随机变量。,解：,例4.设随机变量 X 的数学期望为EX，方差为DX,.,32,又因为 相互独立，所以,例5. 求二项分布 b(n, p) 方差。,解：,则 服从两点分布，故 ， 。,前已求得,设,.,33,故,由此可知正态分布的第二个参数 恰好是它的方差。因 而正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定。,特别地，对于标准正态分布，其均值为0，方差为1。,例6.求正态分布 的方差。,解： 的密度为,.,34,五.几