毕业班解决方案相似三角形模型及应用毕业论文

毕业班解决方案 初三数学.相似三角形.教师版 Page 1 of 20相似考纲要求内容 基本要求 略高要求相似三角形 了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题知识讲解一、相似三角形的性质1相似三角形的对应角相等与 相似，则有 ABC ABC， ，2相似三角形的对应边成比例与 相似，则有 （ 为相似比） k3相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比与 相似， 是 中 边上的中线， 是 中 边上的中线，则ABC AMBC AMBC 有 （ 为相似比） kk与 相似， 是 中 边上的高线， 是 中 边上的高线，则 H H 有 （ 为相似比） kABCAk与 相似， 是 中 的角平分线， 是 中 的角平分 DBC AADBC A线，则有 （ 为相似比） kk4相似三角形周长的比等于相似比与 相似，则有 （ 为相似比） 应用比例的等比性质有ABC kABCk5相似三角形面积的比等于相似比的平方与 相似， 是 中 边上的高线， 是 中 边上的高线，则ABC H AHBC 毕业班解决方案 初三数学.相似三角形.教师版 Page 2 of 20有 （ 为相似比） 进而可得 ABCAHkk 212ABCHSBCAk二、相似三角形的判定1平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似2如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似3如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似4如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似5如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似6直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似三、相似证明中的基本模型A 字形图 字型，结论： ，图反 字型，结论：ADEBCAAEDCB图双 字型，结论： ，图内含正方形 字形，结论 （ 为正方形边长）FGHaIHGFED CBAGF EDCBAE DCBAEDCBA图 图 图 图 8 字型图8 字型，结论： ，图反 8 字型，结论： 、四点共圆AOBDCAOBCD图双 8 字型，结论： ，图 8 字型，结论：EFA1EF图，结论： 、FGADBECCDESS 毕业班解决方案 初三数学.相似三角形.教师版 Page 3 of 20EFDCBAFEDCBAODCBAODCBAGF EDCBA图 图 图 图 图一线三等角型结论：出现两个相似三角形HE DCBAEDCBAEDCBAODCBA 60FEDCBAFED CBA图 图 图 图 角分线定理与射影定理图内角分线型，结论： ，图外角分线型，结论：AAD图斜射影定理型，结论： ，2BDC图射影定理型，结论：1、 ，2、 ，3、2B2CBA D CB D BACAEDCBAD CBA梅涅劳斯型常用辅助线 G FEDCBAGFEDCBAGFEDCBADEFCBA四、相似证明中的面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题常用的面积法基本模型如下：毕业班解决方案 初三数学.相似三角形.教师版 Page 4 of 201“”HDCBA如图： 12ABCDHSBCD2“”GH ODCBA如图： 12ABCDHSAOGD3“”CDEBA如图： ABDAEDCECSSBADEC 学案提升考点一：相似三角形【例 1】 如图， 、 是 的边 、 上的点，且 ，求证： .DEABCABADCEBADEB E DCBA【答案】 ADCEBADBCAEBCDAECAE【例 2】 如图，在 中， 于 ， 于 ， 的面积是 面积的 4 倍，求 的长.6毕业班解决方案 初三数学.相似三角形.教师版 Page 5 of 20ED CBA【答案】 ， ，ADBCEABDCE BEA 11342DCSEAC【例 3】 如图， 中， ，点 是 内一点，使得 ， 60BPB APBCPA，则 _86PA， P PCBA【答案】 43【解析】 ， ，故 ，120APBC60BAPABCPAP 2【例 4】 如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求 EFG H G FEDCBA【答案】 45【解析】连接 、 ，则 ，若 ，则 可求，DFCG45EDFBFDFEGFG问题的关键是证明 考点二：相似三角形与边的比例考点说明：可运用相似三角形模型，常用 字形与 字形A8【例 5】 在 中， ， 的延长线交 的延长线于 ， 求证： .ABCEBCPABPEC毕业班解决方案 初三数学.相似三角形.教师版 Page 6 of 20PEDCBAMPEDCBA【答案】过 作 交 于 ，CMA P ， ，P ，BD ，A ，CE ，M ，B ，ED ，PCA BP【例 6】 如图，在 的边 上取一点 ，在 取一点 ，使 ，直线 和 的延长线相BDACEADEBC交于 ，求证： CE PEDCBA4321MPEDCBA【答案】过 作 交 于 ，CMAB DP ， ，P ， ，AB ，14又 ，DE ， ，24 ，3 ，4 CM BPE【例 7】 如图， 、 为 边 上的两点，且满足 ，一条平行于 的直线分别交NABC BMNCAC、 和 的延长线于点 、 和 .ADEF毕业班解决方案 初三数学.相似三角形.教师版 Page 7 of 20求证： .3EFDFNMEDCBA KHFNMG EDCBA【答案】过 ， 分别作 的平行线交 于 ， 两点， 交 于 ，MNACABHGAK ，B ，GH易知 ， ，12K12N ，即 ，4N3又 ，DF ，即 .1EHKEFD考点三：相似三角形与内接矩形考点说明：内接矩形问题是相似三角形中比较典型的问题，考查了相似三角形对应高的比等于相似比【例 1】 一块直角三角形木板的一条直角边 长为 米，面积为 平方米，工人师傅要把它加工成一AB1.51.5个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案。甲设计的方案如图所示，乙设计的方案如图所示，你认为哪位同学设计的方案较好，请说明理由（加工损耗忽略不计）【答案】 甲同学设计的方案较好由题意得 ，设甲设计的正方形桌面边长为2BCx由 ，得DEA RtDEtCBA则 ，即 ， ，解得x21.5()x67x在图中，根据勾股定理，得 ，则.1.2M设乙设计的正方形桌面的边长为 ，则 ，y.BNyDEBNAC解得 ， ，307y630572x【例 8】 中，正方形 的两个顶点 、 在 上，另两个顶点 、 分别在 、 上，ABCEFGHEFBGHACB, 边上的高 ,求 .1510ADGHS: GFEDCBAFEDCBA NMGFEDCBA毕业班解决方案 初三数学.相似三角形.教师版 Page 8 of 20H GFE D CBA DM FECBA【答案】设正方形 的边长为 ， 、 的交点为 ，则有EFGHxADGM，即AMDBC105解之得， 6x故 23EFGHS:本题有一个相似形中的典型的基本图形：如图， ， ，则/ADBCEFABC（相似三角形高线之比等于相似比）【例 9】 如图，已知 中， ，四边形 为正方形，其中 在边5145， ， DEGFDE，上， 在 上，求正方形的边长ACB， FG， GFEDCBAIH GFEDCBA【答案】过 作 ，垂足为 ，连接 CHBCH设 ，则 ，Aa1a则有 ，即 ，解得 ，222B2225(4)(1)aa3 4设正方形的边长为 ，则有 ，即 解得 xDEIAC1x45x所以正方形的边长为 415【例 10】如图，已知 中，四边形 为正方形， 在线段 上， 在 上，如BCEGFDE， ACB， FG， AB果 ， ，求 的面积ADFES3SAB GFEDCBAIH GFEDCBA毕业班解决方案 初三数学.相似三角形.教师版 Page 9 of 20【答案】设正方形边长为 ，则 x26AFCIBGxx， ，由 ，得 ，CDEB IDEH ，解得 ， ，28x2x63H， 192ABCS【例 11】如图，在 中， ， ， ，动点 （与点 ， 不重合）在 边上，5AB3C4AEACA 交 于 点EFF（1）当 的面积与四边形 的面积相等时，求 的长EF（2）当 的周长与四边形 的周长相等时，求 的长（3）试问在 上是否存在点 ，使得 为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；P若存在，请求出 的长FECBAP2P1 HQ FECBADP HQ FECBA【答案】 （1） FB CE当 时，则AFS:1:2CEFABS ， 122（2）当 与四边形 周长相等时，则： CEFABF设 与 的相似比为EBk则 ， ， ，4CAk 3F4Ak3k 3()(3)5解得： ，67247EACk（3） 如图过 （或 ） ，分别作 垂线，垂足为 （或 ） ，当 （或 ）B1P21EFP2F时， （或 ）为等腰直角三角形过 作 于 ，交 于 ，则1FP2 CHABQ，设 ， QHx由 ，得AB.4H CE ，即 2.5 ，6037x6037Fx 作 的中垂线 ，交 于 ，当 时 为等腰直角三角形EDPAB2DPEF设 ，则 . ABC ，即QH2.405xx毕业班解决方案 初三数学.相似三角形.教师版 Page 10 of 20解得 ，即 12049x12049EFx考点四：与平行四边形有关的相似问题【例 12】如图，已知平行四边形 中，过点 的直线顺次与 、 及 的延长线相交于点 、ABCDACDE、 ，若 ，