高等数学测试题及解答(分章)

第 1 页第一单元 函数与极限一、填空题1、已知 ，则 。 xfcos1)2(sin)(csxf2、 。)(34limxx3、 时， 是 的 阶无穷小。0xsinta4、 成立的 为 。1silkx k5、 。erct6、 在 处连续，则 。0,1)(xbxfxb7、 。x3lnim08、设 的定义域是 ，则 的定义域是_。)(f1,)(lnxf9、函数 的反函数为_。)2ln(xy10、设 是非零常数，则 。a_)(lixxa11、已知当 时， 与 是等价无穷小，则常数 。0x132cos _a12、函数 的定义域是_。xfarcsin)(13、 。_2lim2xn14、设 ，则 _。8)(xxa15、 =_。)(1li nn二、选择题1、设 是 上的偶函数， 是 上的奇函数，则 中所给的)(,xgf,l)(xh,l函数必为奇函数。（） ；（） ；（C） ；（D）)(f)(f)()(xhgxf第 2 页。)()(xhgf2、 ， ，则当 时有 。131)(x1（） 是比 高阶的无穷小； （） 是比 低阶的无穷小；（C） 与 是同阶无穷小； （D） 。3、函数 在 处连续，则 。0)1(,1)(3xkxf xk（） ； （） ； （C） ； （D） 。224、数列极限 。ln)1l(imn（） ； （） ； （C） ； （D）不存在但非 。15、 ，则 是 的 。0cosi)(xxf 0x)(f（）连续点；（）可去间断点；（C）跳跃间断点；（D）振荡间断点。6、以下各项中 和 相同的是（ ）)(fg（） ， ； （） xf)(， ；2lxfxl2)(xg（C） ， ；（D） ，334)(31)(g1。xxg22tansec7、 = （ ）|ilm0x（） 1； （） -1； （C） 0； （D） 不存在。8、 （ ）xx0)(li（） 1； （） -1； （） ； （） 。e1e第 3 页9、 在 的某一去心邻域内有界是 存在的（ ）)(xf0 )(lim0xf（）充分必要条件；（） 充分条件；（C）必要条件；（D）既不充分也不必要条件.10、 （ ）)1(lim2xx（） 1； （） 2； （C） ； （D） 0。2111、设 均为非负数列，且 ，则必有（ ,nncba nnncbalim,1li,lim）（A） 对任意 成立； （B） 对任意 成立；nncb（C）极限 不存在 ； （D）极限 不存在。calimli12、当 时，函数 的极限（ ）1x12xe（）等于； （）等于； （）为 ； （）不存在但不为 。三、计算解答1、计算下列极限（1） ； （2） ； 12sinlmnx xxcotslim0（3） ； （4） ； )(lixxe x31li（5） ； （6） ； 1cos28li3xx xxtancossili0（7） ； （8） 。)(1limnn 3224rct)1l(imx、试确定 之值，使 。ba, 1li2bax、利用极限存在准则求极限(1) 。nn1321lim第 4 页（2）设 ，且 ，证明 存在，并求此极限值。01ax ),21(1naxn nxlim5、讨论函数 的连续性，若有间断点，指出其类型。xnflim)(6、设 在 上连续，且 ，证明在 内至少有一点 ，使xf,babfa)(),(ba。)(第 5 页第一单元 函数与极限测试题详细解答一、填空题1、 。 ，x2sin 2sin)2sin1()2(sinxxxf 。)(fcoco2、 。 。0 0649lim)1(34li 322 xxx3、高阶 。 ，0)cos1(lim)cos1(tanlistanli 000 xxxx是 的高阶无穷小。4、 。0k为有界函数，所以要使 ，只要 ，即 。x1sinsinlm0xkx li0kx5、 。 。arctliex )2,(arctn,l( e6、 。 ， ，2b bfxx)li)(00 1lim)li00xxef。,b27、 。21163lim)1ln(i00xxx8、 根据题意 要求 ，所以 。elnex19、 ， ，1xy )2l()(),2l(yy 1y， 的反函数为 。1exl1x2x10、 原式= 。ae2 axax e22)(lim11、 由 与 ，以及32312)( 21cosx，321licos)1(li 203120 axxaxx可得 。第 6 页12、 由反三角函数的定义域要求可得214x解不等式组可得 ， 的定义域为 。03124x)(xf 214x13、 2)(lim2lim22 xxnn。0)(li22xn14、 2l 8)31(li)(li 3 axaxx ea。2ln8lln3315、2 )(21lim)(1(limnnn 。21)(2linn二、选择题1、选（） 令 ，由 是 上的偶函数， 是)()(xhgfxF)(,xgf,l)(xh上的奇函数， 。,l )(Fff 2、选（） )1()1(lim)1(lim)(li 3311 xxxx 23)()(lim1x第 7 页3、选（A） 231lim1li)(lim0300 xxxf4、选（） )ln(il)ln(i nxx5、选（） ， ， 10f0f 0f6、选（） 在（A）中 的定义域为 ，而 的定义域为2l)(xgln2)(， 故不正确x)(xgf在（B） 的值域为 ， 的值域为 ，故错),(2(xg0x在（C）中 的定义域为 R， 的定义域为1)(xf tansec， ，故错2,kRx )(xf7、选（） ，1sinlm|sil00x 1silm|sil00xx不存在|sinlm0x8、选（） ， 1)(1010li)(li exxx9、选（） 由函数极限的局部有界性定理知， 存在，则必有 的某一去心)(lim0xf0x邻域使 有界，而 在 的某一去心邻域有界不一定有 存在，例如)(xf)(xf0 )(li0fx，函数 有界，但在 点极限不存在x1sinlm01sinx10、选（） （ xxxxx 1lim1)(lim)(li 2222第 8 页21limxx11、选（D） （A） 、 （）显然不对，因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当充分大时”的情况，不可能得出“对任意 成立”的性质。n n（）也明显不对，因为“无穷小无穷大”是未定型，极限可能存在也可能不存在。12、选（D） 02)1(lim1li2 xxx ee 1121 )(lilimxxx当 时函数没有极限，也不是 。三、计算解答1、计算下列极限：（1）解： 。xxnnn 2lim2sil 11（2）解： 。21limsinco1lsicoilcotli 0000 xxxxx（3）解： 。1li)1(liexx（4）解： 。32133 )1(li)2(lim)2(li xxxx 321321)li)li exxxx（5）解： )1)(cos2(4slim1cos28lim33 xxx 。24csli3x第 9 页（6）解： )cossin1(talimtancossi1lim00 xxxxx 。202020 clinlili xxx 43（7）解： )1(31lix)2()limnx 。1(n（8）解： 。3123232 4)(lim4li4arct)li xxxx、解： 1li)1(lim babxx2()li2ax。21)(0b3、 （1）. 11nn而 。1limnx 321li nx（2）先证有界（数学归纳法）时， aa12设 时， ， 则 knxk axkk21数列 有下界，第 10 页再证 单调减，nx且 11