高中数学解三角形方法大全

1解三角形的方法1解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形。以下若无特殊说明，均设 的三个内角 的对边分别为 ，则有以下关系成立：ABCCBA、 cba、（1）边的关系： ， ， （或满足：两条较短的边长之和大于较长边）cbabac（2）角的关系： ， ， ， ，、00BA， ， ， sinsin)si( cos)o(2cosinC（3）边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形板块一：正弦定理及其应用1正弦定理： ，其中 为 的外接圆半径RCcBbAa2sinisinABC2正弦定理适用于两类解三角形问题：（1）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边；（2）已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解的可能） ，再计算第三角，最后根据正弦定理求出第三边【例 1】考查正弦定理的应用（1） 中，若 ， ， ，则 _；ABC6042tanABCA（2） 中，若 ， ， ，则 _；3b1（3） 中，若 ， ， ，则 _；4528a（4） 中，若 ，则 的最大值为_。ABCAcasinc2总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能如图，在 中，已知 、 、ABCabA（1）若 为钝角或直角，则当 时， 有唯一解；否则无解。AbaABC（2）若 为锐角，则当 时，三角形无解；sin当 时，三角形有唯一解；当 时，三角形有两解；当 时，三角形有唯一解实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。板块二：余弦定理及面积公式1余弦定理：在 中，角 的对边分别为 ，则有ABC、 cba、余弦定理： ， 其变式为：CabcBcbAaos2222 abcCBbacA2cos2os2余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题：（1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角） ，最后根据“内角和定理”求得第三个角；（2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角） ，最后根据“内角和定理”求得第三个角；说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决3三角形的面积公式（1） （ 、 、 分别表示 、 、 上的高） ；cbaABChhS2121 abchabc（2） BAsinsisin（3） （ 为外接圆半径）ABCCBR2R（4） ；abcS43（5） 其中)()(cpbapSABC )(21cbap（6） （ 是内切圆的半径， 是三角形的周长）lr21l【例】考查余弦定理的基本应用（1）在 中，若 ， ， ，求 ；32a26b45CBAc、（2）在 中，若 ， ， ，求边 上的高 ；ABC143ch（3）在 中，若 ， ， ，求80Ac【例】 （1）在 中，若 ， ， ，则 中最大角的余弦值为_7ab143cosCB（2） （10 上海理）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为 ，则（ 513、）A不能作出这样的三角形 B作出一个锐角三角形C作出一个直角三角形 D作出一个钝角三角形（3）以 为三边组成一个锐角三角形，则 的取值范围为_x、 4x【例】考查正余弦定理的灵活使用（1）在 中，若 ，其面积 ，则 _ABCCcAbasinocs )(4122acbSB（2）在 中，若 ，则 _a)3(Aos（3） （07 天津理）在 中，若 ， ，则 _bc32 sin32iA（4） （10 江苏）在锐角 中，若 ，则 _ABCCas6BCtat【例】判断满足下列条件的三角形形状（1） ； （2） ； （3） ；batant22Asinco2sin cbaAosc（4） ； （5） ，)()()si()( BbBA CabinB4板块三：解三角形综合问题【例】 （09 全国 2）在 中，角 的对边分别为 、 、 ， ， ，求ABC、 abc23cos)s(BCAacb【例】 （11 西城一模）在 中，角 的对边分别为 ，且 ，CBA、 cba、 54osb（1）当 时，求角 的度数； （2）求 面积的最大值35aA【例】在 中， ， ， ，求 的值和 的面积sin【例】在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，ABC、 cba、 23C（1）若 的面积等于 ，求 ；3、（2）若 ，求 的面积sin()2sinAABC【例 5】 （09 江西理）在 中，角 的对边分别为 ，且 ，BC、 cba、 sintacoABCsin()cosA（1）求 （2）若 ，求C、 3ABCSca、【例】 （09 安徽理）在 中， , sin()13sin（1）求 的值； （2）设 ，求 的面积Asin6ABC【例】 （10 辽宁理）在 中，角 的对边分别为 ，BCA、 cba、5且 CbcBbAasin)2(sin)2(sin（1）求 的大小； （2）求 的最大值 【例】在 中，角 的对边分别为 ， ，ABC、 cba、 )(4322cbaSABC（1）求 的大小； （2）求 的范围Asin【例】 （11 全国 2）设 的内角 的对边分别为 ，已知 ，ABC、 cba、 90A，求bca【江西理】在 中，角 的对边分别是 ，已知、 cba、