2006年全国硕士研究生入学测试数学（四）

2006 年全国硕士研究生入学考试数学（四）一、填空1 (1)limnn2设函数 在 的某邻域内可导，且 ，则法fx2()21fxfe()f3设函数 可微，且 ，则 在点（1，2）处的全微分()fu1()2fu2(4)zfxy(1,2)|dz4已知 为 2 维列向量，矩阵 ， 。若行列式a12(,)Aa12(,)Ba，则 =|6A|B5设矩阵 ， 为 2 阶单位矩阵，矩阵 满足 ，则 。1E2AE6设随机变量 与 相互独立，且均服从区间 上的均匀分布，由XY1,3max(,)1Py二、选择7设函数 具有二阶导数，且 ， ， 为自变量 在点 处()f ()0fx()fxAx0的增量 与 分别为 在点 处对应的增量与微分，若 ，则（ ）yAdfx0 0（A） （B）0ydA（C） （D ）y 08设函数 在 处连续，且 ，则（ ）()fx020()lim1nf（A） 且 存在 （B） 且 存在ff ()f(0)f（C） 且 存在 （D ） 且 存在(0)() 19设函数 与 在 上连续，且 ，且对任何 （ ）fxg0,1()fxg(,1)C（A） （B）1122()()cctdt 122()ccftdgt（C） （D ）11()()ccftdgt 11()()ccftdgt10设非齐次线性微分方程 有两个不同的解 ， ， 为任何()yPxQ1yx2C常数，则该方程通解是（ ）（A） （B）12()yx112()()C（C） （D ）yxyx11设 与 均为可微函数，且 ，已知 是 在约(,)fxy(,)G(,)0G0(,)(,)f束条件 下的一个极值点。下列选择正确的是（ ）0（A）若 ，则(,)xfy 0(,)yfx（B）若 ，则0 （C）若 ，则(,)xfy0(,)yfx（D）若 ，则012设 为 3 阶矩阵，将 的第 2 行加到第 1 行得 ，再将 的第一列的-1 倍加到第 2AAB列得 ，记 ，则（ ）C10P（A） （B）1p 1CPA（C） （D ）TPT13设 为两个随机事件，且 ， 则有（ ）,B()0P(|)1（A） （B）()(A()APB（C） （C）P(14设随机变量 服从正态分布 ，随机变量 服从正态分布 ，且X21(,)NuY2(,)Nu，则必有（ ）12|3)|uY（A） （B） （C） （D）2112u12三、解答题15设1sin(,),0arctxyfxyy求：（1） （2）lim(,)ygfx0lim()ygx16计算二重积分 ，其中 是由曲线 ， ， ，所围成的2DdyD10x平面区域。17证明：当 时，0absin2cossin2cosbbaa18在 坐标平面中，连续曲线 过点 ，其上任意点 处的切线斜xoyL(1,0)M(,)0Pxy率与直线 的斜率之差等于 （常数 ）OPxa（1）求 的方程L（2）当 与直线 所围成平面图形的面积为时 ，确定 的值。ya83a19试确定常数 的值，使得 ，其中 是当,ABC23(1)1()xeBCAxO3()x时比 高阶的无穷小。0x320设 4 维向量组 ， ， ，1(,)Ta2(,2)Ta3(,3)Ta，问 为何值时 线性相关？当 线性相关时，(,)Ta134, 124求其一个极大线性无关组，并将其余量用该极大线性无关组线性表出。21设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 ，1(,)TI，是线性方程组 的两个解。2(0,1)TI0x（1）求 A 的特征值与特征向量（2）求正交矩阵 和对角矩阵 ，使 ；QATQ（3）求 及 ，其中 为 3 阶单位矩阵。3()2E22设二维随机变量（ ）的概率分布为,XY其中 为常数，且 的数学期望 ， ，记,abcx0.2,0.5PxyZXY求：（1） 的值,（2） 的概率分布Z（3） PX23设随机变量 的概率密度为