2009年全国硕士研究生数学三习题解析

2009 年全国硕士研究生数学三试题解析一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数 的可去间断点的个数为 3()sinxf(A)1. (B)2. (C)3. (D)无穷多个.【答案】C. 【解析】3sinxf则当 取任何整数时， 均无意义fx故 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是 的解fx 30x1,2302003112limlisncosillisncosxxxxxx故可去间断点为 3 个，即 0,（2）当 时， 与 是等价无穷小，则x()sinfxax2()ln(1)gbx(A) ， . （B ） ， . 1a6b6(C) ， . （D） ， .【答案】A. 【解析】 为等价无穷小，则2()sin,()(1)fxaxglnbx222200000sicossinlimlilimlilm()(1)()36xxxxxaaagbbb 洛 洛故排除(B)、 (C).230sinl6xab 36b另外 存在，蕴含了 故 排除(D).201coslim3xaxb1cos0ax1.a所以本题选(A).（3）使不等式 成立的 的范围是1sinlxtdx(A) . (B) . (C) . (D) .(0,)(,)2(,)2(,)【答案】A. 【解析】原问题可转化为求成立时 的111sinsin()lxxxttfddt11sinsin0xxttddx取值范围，由 ， 时，知当 时， .故应选(A).0t,t0,()f（4）设函数 在区间 上的图形为yfx1,31()f-2 O 2 3 x-11则函数 的图形为0xFftd(A) (B)()fO 2 3 x1-2-11()fxO 2 3 x1-2-11(C) (D)()fxO 2 3 x1-11()fxO 2 3 x1-2-11【答案】D.【解析】此题为定积分的应用知识考核，由 的图形可见，其图像与 轴及 轴、()yfxxy所围的图形的代数面积为所求函数 ，从而可得出几个方面的特征：0xF 时， ，且单调递减.,1()Fx 时， 单调递增.2x 时， 为常函数 .,3()x 时， 为线性函数，单调递增.10x0F由于 F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为(D).（5）设 均为 2 阶矩阵， 分别为 的伴随矩阵，若 ，则分块,AB*,AB,|2,|3AB矩阵 的伴随矩阵为O(A) . (B) . *32A*23OA(C) . (D) .*OB*B【答案】B.【解析】根据 ，若CE1,C分块矩阵 的行列式 ，即分块矩阵可逆OAB236ABBO（ ）11166OBOAABBBOA12362A故答案为(B).（6）设 均为 3 阶矩阵， 为 的转置矩阵，且 ，,APTP102TPA若 ，则 为123123(,),(,)QTQ(A) . (B) . 00(C) . (D) .201102【答案】A.【解析】 ，即：1231231231(,)(,)0(,)(QE121212122112()()()()0()0210012TTTPEAPEPA（7）设事件 与事件 B 互不相容，则A(A) . (B) . ()P()()PAB(C) . (D) .1(1【答案】D.【解析】因为 互不相容，所以,AB()0PAB(A) ，因为 不一定等于 1，所以(A)不正确.()()1P()(B)当 不为 0 时， (B)不成立，故排除.,(C)只有当 互为对立事件的时候才成立，故排除.AB(D) ，故(D) 正确.()()1()PPAB（8）设随机变量 与 相互独立，且 服从标准正态分布 ， 的概率分布为XYX(0,1)NY，记 为随机变量 的分布函数，则函数102()zFZX的间断点个数为（ ）()zFZ(A) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.【答案】 B.【解析】 ()(0)(1)(ZzPXYzzYPXYzP1()120()XzYzY独立,XY1()(0)()2ZFzPxzxz（1）若 ，则12Z（2）当 ，则z()()zz为间断点，故选(B).0二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 .（9） .cos320lim1xxe【答案】 .【解析】 .coscos1332200()limli1xxxee02(cos)lim3ex201li3ex（10）设 ，则 .()yxze(1,0)z【答案】 .2ln1【解析】由 ，故xyz,xz ln(1)ln(1)1xxxde代入 得， .1ln21,02lzx（11）幂级数 的收敛半径为 .21()nne【答案】 .【解析】由题意知， 210nnea1111222 ()nnnnn nneea ee 所以，该幂级数的收敛半径为 1e（12）设某产品的需求函数为 ,其对应价格 的弹性 ，则当需求量为()QP0.2p10000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加 元.【答案】8000.【解析】所求即为 因为 ，所以0.2pQP0.2PQ所以 0.2.8QPQ将 代入有 . 10（13）设 , ，若矩阵 相似于 ，则 .()T(1,)TkT30k【答案】2.【解析】 相似于 ，根据相似矩阵有相同的特征值，得到 的特征值为T30 T3，0，0.而 为矩阵 的对角元素之和， ， .TT130k2k(14)设 ， , 为来自二项分布总体 的简单随机样本， 和 分别为样1X2n(,)BnpX2S本均值和样本方差，记统计量 ，则 .2TXSET【答案】 2np【解析】由 .222()(1)ETnpnp三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15） （本题满分 9 分）求二元函数 的极值.2(,)lnfxyy【解析】 ， ，故 .()0x 2(,)ln10yfxy1,xye.221(),4xyxyfff则 ， ， .12(0,)xef 1(0,)xyef1(0,)yef而xfxyxyff二元函数存在极小值 .(0,)e（16） （本题满分 10 分）计算不定积分 .1ln()xd(0)【解析】令 得tx22,(1)tdt2221ln()ln(1)dttt而 2 211()4(1ln()l)24dt dttttC所以 21ln()11l()l42()lnl().xttdtxxC （17） （本题满分 10 分）计算二重积分 ，其中 .()Dxyd 22(,)1(),Dxyyx【解析】由 得 ，221sincor3(i)4() (sin)0Dxydrrd332(sinco)14(cosi)0rd 2384(cosin)(sico)(sinco)d3384(cosin)(sico)d.33 438814(sinco)(sinco)(sinco)34d 8（18） （本题满分 11 分）（）证明拉格朗日中值定理，若函数 在 上连续，在 上可导，则()fx,ab,ab，得证 .,ab()fa（）证明：若函数 在 处连续，在 内可导，且x00,()，则 存在，且 .0lim()xfA()f()fA【解析】 （）作辅助函数 ，易验证 满足：()()fbaxax ()x； 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，且()ab(),b,.faxf根据罗尔定理，可得在 内至少有一点 ，使 ，即,()0()f()0()fbfbafbaa（）任取 ，则函数 满足：在闭区间 上连续，开区间 内可0,xx0,x0,x导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在 ，使得0x0 0()xfff*又由于 ，对上式（*式）两边取 时的极限可得：0limxfA0x000 00 ()lilim()li()xxxxff ffA 故 存在，且 .()f()fA（19） （本题满分 10 分）设曲线 ，其中 是可导函数，且 .已知曲线 与直线()yfx()fx()0fx()yfx及 所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯0,1t形面积值的 倍，求该曲线的方程 .【解析】旋转体的体积为 22()()11xxttVfdf曲边梯形的面积为： ()xtsf，则由题可知2 2()()()()111xxxxttttVtsfdffdf两边对 t 求导可得 2 2()()()()()()txtttxfffffd A继续求导可得 ftftft，化简可