2006天津市人文类竞赛真题及答案

2006 年天津市大学数学竞赛试题参考答案（人文学科及医学等类）一、填空：（本题 15 分，每空 3 分。请将最终结果填在相应的横线上面。 ）1 若 是 上的连续函数，则 a = 1 。,axxf 02cosine,2 若曲线 上的点 处的切线交 x 轴于 ，则 。ny1, 0,ynlime3 函数 在区间 上的最大值为 。x2si,2324 设函数 由方程 所确定，则 。y1inxy0dxy25 。2dex26e二、选择题：（本题 15 分，每小题 3 分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。 ）1 设函数 f (x)可导，并且 ，则当 时，该函数在点 处微分 dy 是 的（ A 50xf 0x0x）（A）等价无穷小； （B）同阶但不等价的无穷小；（C）高阶无穷小； （D）低阶无穷小。2 设函数 f (x)在点 x = a 处可导，则 在点 x = a 处不可导的充要条件是（ C ）f（A）f (a) = 0，且 ； （B）f (a) 0，但 ；0f 0af（C）f (a) = 0，且 ； （D）f (a)0，且 。 3 设 f (x)是在区间 上单调递增的可导函数，则对任意的 x 必有（ B ）,（A） ； （B） ； f（C） ； （D ） 。0xf 0x4曲线 与 x 轴所围成的平面图形的面积为（ D ）213y（A） ；20dx（B） ；3（C） ； 213103 d2dxxx（D） 。5 设 ，则 （ B ）10d23nnxxanalim(A) ； (B) ；e31 1e23(C) ； (D) ；23 23三、求 。 （本题 7 分）21sincolim0xx解：方法一：注意到： ，而xxxsincol1221esi，21sinco2liml 020 xxx所以 210esincolimxx方法二：分别应用 的 Taylor 公式，有,1lsi，323211sinco xoxoxx ， 3232lil 因此 ，11limsncol1im32020 xoxxx于是 。 212010 esinclepliisli2xx四、设函数 由参数方程 所确定，求 。 （本题 7 分）y1de2ln1t,uyt 9d2xy解：由 ， ，得到 ，所以ttttle2ln1edl tx4txyln1e。2222 ln14eln1e42ln1edd tttttxytx 而当 x = 9 时，由 及 t 1，得 t = 2，故2。2222 ln16eln4e9d ttxy五、设 n 为自然数，计算积分 。 （本题 8 分）20dsi1nxI解：注意到：对于每个固定的 n，总有，2silim0nxx所以被积函数在 x = 0 点处有界（x = 0 不是被积函数的奇点） 。又，xnsico1i12si于是有，0sin21ds2dsii 0201 xxI n上面的等式对于一切大于 1 的自然数均成立，故有 。所以11IIn。2dcos2dcosdsics2ncodsin3 02020201 xxxxxIn六、计算 ，其中 k 为常数。 （本题 8 分）0-解：当 k 2，必存在使得0,1nx。nxffn1（本题 8 分）证明：命 。只需证明在区间 上至少存在一点 ，使得 。nxfx1 ,10nx0n首先注意到 在区间 上连续。下面用反证法，若这种 不存在，则 在区间x,10 nxx上不变号，不妨假设 ， ，则n,10xn,10， ， ，0f21ffn 011fnf从而有，101-fn这显然与题设 f (0)= f (1)矛盾，所以必存在 使得0,)nx。nffn1对 ， 可类似证明。0xn,1十一、设 f (x)是除 x = 0 点外处处连续的奇函数，x = 0 为其第一类跳跃间断点，证明 是连xtf0d续的偶函数，但在 x = 0 点处不可导。 （本题 8 分）证明：因为 x = 0 是 f (x)的第一类跳跃间断点，所以 存在，设为 A，则 A0；又因 f (x)为奇xf0lim函数，所以 。Afx0lim命： .A,xf;,fx0则 在 x = 0 点处连续，从而 在 上处处连续，且 是奇函数。, 当 x 0，则