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文档简介
2006 年天津市大学数学竞赛试题参考答案(人文学科及医学等类)一、填空:(本题 15 分,每空 3 分。请将最终结果填在相应的横线上面。 )1 若 是 上的连续函数,则 a = 1 。,axxf 02cosine,2 若曲线 上的点 处的切线交 x 轴于 ,则 。ny1, 0,ynlime3 函数 在区间 上的最大值为 。x2si,2324 设函数 由方程 所确定,则 。y1inxy0dxy25 。2dex26e二、选择题:(本题 15 分,每小题 3 分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分;选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。 )1 设函数 f (x)可导,并且 ,则当 时,该函数在点 处微分 dy 是 的( A 50xf 0x0x)(A)等价无穷小; (B)同阶但不等价的无穷小;(C)高阶无穷小; (D)低阶无穷小。2 设函数 f (x)在点 x = a 处可导,则 在点 x = a 处不可导的充要条件是( C )f(A)f (a) = 0,且 ; (B)f (a) 0,但 ;0f 0af(C)f (a) = 0,且 ; (D)f (a)0,且 。 3 设 f (x)是在区间 上单调递增的可导函数,则对任意的 x 必有( B ),(A) ; (B) ; f(C) ; (D ) 。0xf 0x4曲线 与 x 轴所围成的平面图形的面积为( D )213y(A) ;20dx(B) ;3(C) ; 213103 d2dxxx(D) 。5 设 ,则 ( B )10d23nnxxanalim(A) ; (B) ;e31 1e23(C) ; (D) ;23 23三、求 。 (本题 7 分)21sincolim0xx解:方法一:注意到: ,而xxxsincol1221esi,21sinco2liml 020 xxx所以 210esincolimxx方法二:分别应用 的 Taylor 公式,有,1lsi,323211sinco xoxoxx , 3232lil 因此 ,11limsncol1im32020 xoxxx于是 。 212010 esinclepliisli2xx四、设函数 由参数方程 所确定,求 。 (本题 7 分)y1de2ln1t,uyt 9d2xy解:由 , ,得到 ,所以ttttle2ln1edl tx4txyln1e。2222 ln14eln1e42ln1edd tttttxytx 而当 x = 9 时,由 及 t 1,得 t = 2,故2。2222 ln16eln4e9d ttxy五、设 n 为自然数,计算积分 。 (本题 8 分)20dsi1nxI解:注意到:对于每个固定的 n,总有,2silim0nxx所以被积函数在 x = 0 点处有界(x = 0 不是被积函数的奇点) 。又,xnsico1i12si于是有,0sin21ds2dsii 0201 xxI n上面的等式对于一切大于 1 的自然数均成立,故有 。所以11IIn。2dcos2dcosdsics2ncodsin3 02020201 xxxxxIn六、计算 ,其中 k 为常数。 (本题 8 分)0-解:当 k 2,必存在使得0,1nx。nxffn1(本题 8 分)证明:命 。只需证明在区间 上至少存在一点 ,使得 。nxfx1 ,10nx0n首先注意到 在区间 上连续。下面用反证法,若这种 不存在,则 在区间x,10 nxx上不变号,不妨假设 , ,则n,10xn,10, , ,0f21ffn 011fnf从而有,101-fn这显然与题设 f (0)= f (1)矛盾,所以必存在 使得0,)nx。nffn1对 , 可类似证明。0xn,1十一、设 f (x)是除 x = 0 点外处处连续的奇函数,x = 0 为其第一类跳跃间断点,证明 是连xtf0d续的偶函数,但在 x = 0 点处不可导。 (本题 8 分)证明:因为 x = 0 是 f (x)的第一类跳跃间断点,所以 存在,设为 A,则 A0;又因 f (x)为奇xf0lim函数,所以 。Afx0lim命: .A,xf;,fx0则 在 x = 0 点处连续,从而 在 上处处连续,且 是奇函数。, 当 x 0,则
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