提升高中数学概念教学有效性的策略研究

提升高中数学概念教学有效性的策略研究第 1 页 共 16 页优化概念教学 促进有效学习提升高中数学概念教学有效性的策略研究萧山三中 周黎祥摘要：概念的教学贯穿于数学教学过程的始终，充分经历概念形成过程，突出概念本质，丰富概念外延是当前新课程下概念教学的根本要求，这样的概念教学才是扎实有效的。本文结合案例，反思当前概念教学的现状，结合自己的教学经验，从“创设情境，感知概念” 、 “自主探索，生成概念” 、 “步步为营，理解概念” 、 “螺旋上升，内化概念” 、 “返璞归真，升华概念”五个方面具体阐述了一个普通教师在高中数学概念教学中如何实施有效性的策略研究，并期以抛砖引玉，唤起更多的教师能聚焦概念教学，探索概念教学的基本规律。关键词： 数学概念 有效性 策略研究一、问题的提出1、高中数学概念教学的重要地位数学概念是反映数量关系与空间形式本质属性的思维形式，是数学思维的细胞。各种数学方法，解决各种数学问题，都必须运用数学概念。 普通高中数学课程标准(实验) 指出：数学教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。匡继昌认为：“学生如果不能正确的理解数学中的各种概念，就不能掌握各种法则、定理、公式，从而也就不能正确地进行计算和论证。 ”因此，数学的教学首先是概念的教学。在高中阶段数学的概念可以简单的分为两类：一类是以前不曾接触过的，完全陌生的概念，如：集合，数列，向量，导数的概念等等；另一类是已经有所接触或是似曾相识，是由原有的概念发展而来的，如：数的概念，角的概念，函数的概念，指数的概念，曲线的切线概念等等。第二类情况我们称之为概念的发展。在中学数学中，许多重要概念将逐步发展与深化。例如“函数”概念，初中学生只能作“在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，并且对于 x 每一个确定的值，在 y 中都有唯一确定的值与其对应，则说 y 是 x 的函数”之类的直观理解，而高中学生就可以用集合的语言，从映射的观点出发来理解，大学生则可以用“关系语言”来理解它。所以在高中数学概念教学中要揭示概念的内涵与外延，使学生深刻理解概念，牢固掌握概念，灵活运用概念，即达到理解、巩固、系统、会用的目的，因此，高中数学概念教学具有十分重要的基础性地位。2、概念教学有效性研究的意义提升高中数学概念教学有效性的策略研究第 2 页 共 16 页数学概念教学是“双基”教学的核心，是数学教学的重要组成部分。有些教师往往用例题教学替代概念的概括过程，认为“应用概念的过程就是理解概念的过程” 。殊不知没有概括过程必然导致概念理解的先天不足，没有理解的应用是盲目的应用。数学素养差的关键是在对数学概念的理解、应用和转化等方面的差异，因此抓好概念教学是提高数学教学质量的带有根本性意义的一环。那么在新课标下如何帮助学生更有效地理解数学概念，如何才能灵活地应用数学概念解决数学问题？我想关键的环节还是在于教师如何提升数学概念教学的有效性，通过有效的概念教学，使学生顺利地获取有关概念。教学时提供丰富的感性材料让学生观察，在观察的基础上通过教师的启发引导，对感性材料进行比较、分析、综合，最后再抽象概括出概念的本质属性，通过一系列的判断、推理使概念得到巩固和运用，从而使学生的初步逻辑思维能力逐步得到提高。为此“高中数学概念教学有效性的研究”具有现实意义。二、概念教学现状分析当前，不重视概念教学是一个比较普遍的现象， “一个定义，三个注意项”式的概念教学比比皆是，让学生觉得学习数学概念枯燥乏味，影响了对数学概念的理解。我们有必要静下心来对当前数学概念教学作一番审视，先看我校高一备课组举行的“同课异构”教研活动中 2 位教师执教的关于“函数的奇偶性”一课的案例片断。【案例 1】师：前面我们研究了函数的单调性，同学们已经知道函数的单调性是函数的一个重要性质，它在解决函数的问题中有着十分广泛的应用。今天这节课，我们要学习函数的另一个重要性质奇偶性。（板书课题：函数的奇偶性）师：什么是函数的奇偶性呢？请大家打开课本第 33 和 35 页，看教材中是怎么阐述的。 （大约 2分钟后）师：哪位同学说说看。生 1：设函数 的定义域为 ，如果对于任意的 ，都有 ，那么称函)(xfyAAx)(xff数 是偶函数，如果对于任意的 ，都有 ，那么称函数 是奇函)(xfyx)()(ffy数。 （学生口述，教师板书）师：很好！如果函数 是奇函数或偶函数，它的定义域 A 应该具有怎样的特点？)(xfy生 2：关于原点对称。提升高中数学概念教学有效性的策略研究第 3 页 共 16 页师：说说你的理由。生 2：因为如果 ，则只有 ，才能计算 。AxAx)(xf师：真不错！如果函数 是奇函数或偶函数，它的图象又具有怎样的特点呢？)(fy生 3：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称。师：非常好！看来同学们已经作了很好的预习。如果函数 是奇函数或偶函数，我们就说)(xf函数 具有奇偶性。函数的奇偶性是函数的又一重要性质，它在解决函数问题时有着十分广泛)(xfy的应用。请大家看下面的问题。 （投影显示问题 1、问题 2、问题 3 和问题 4）(师生共同探讨上述问题的解题思路和解题过程,深化对函数奇偶性的认识和理解。)【案例 2】师：请同学们回顾上节课学习的函数单调性的定义、单调区间及判断函数单调性的方法。(学生回答略)师：很好！下面我们研究函数的第二个性质奇偶性。师：请同学们先看一个我们熟悉的函数 ，计算 与 ， 与 ，2)(xf)1(f)2(f)f与 ，能得出怎样的结论？)3(f)f生：对于 ，当自变量取一对相反数时，y 取同一值记 ，有2x 2)(xyf， ，一般地，有 。)1(2(ff )1(ff )(xf师：非常好，下面请大家再来研究函数 ，又有怎样的结论呢？xg1)生：当自变量 取一对相反数时， 亦取相反数例如 ， ，xy)21()(ff)1(ff一般地，有 。)()(ff由此启发学生得出奇（偶）函数的定义强调：定义本身蕴含着函数的定义域必须是关于原点的对称区间；“定义域内任一个”是指对定义域内的每一个 x； 判断函数奇偶性最基本的方法是先看定义域，再用定义检查 （或 ） 。)(xff)()(ff（以下是例题巩固、数学应用的环节）从上面几个案例不难看出当前概念教学的现状：提升高中数学概念教学有效性的策略研究第 4 页 共 16 页现状一：一个定义三项注意案例 1 中令人感到遗憾的是，这节课的教学，从上课开始到给出定义，总共花了不到 10 分钟的时间，接着进行的就是运用函数奇偶性的概念进行解题的训练。对函数奇偶性这一概念建立的过程没能很好地展开，为什么要研究函数的奇偶性？函数的奇偶性的定义为什么要这样给出？当前的数学课堂中，教师不舍得在概念、定义的发生发展过程上花时间，认为这样“太虚” ，不如让学生多做几个题目实在。因而概念教学常常用“一个定义三项注意”的方式，告诉学生定义的内容，强调几个注意事项（例如强调“要注意，必须是任意的” ） ，然后就讲例题、做练习。实践表明，这样的教学对学生把握和应用概念都产生了不利影响，学生没有基本把握概念内涵的时候就要求学生用概念解决问题，结果只能是机械模仿，不可能有理想的解题质量和效率。现状二：无视学生认知需求 案例 2 中学生通过对两个特殊函数的研究，抽象出函数奇偶性的概念，符合特殊到一般的认知规律。但是，为什么要研究函数的奇偶性？为什么要计算 ， ,？为什么要用这样的方式给)1(f出函数奇偶性的定义？显然，教师在进行教学设计和教学实施时，只是站在教师教的角度，按照教师的主观意志组织活动，将教师的意图强加给学生，而无视学生的认知需求，其结果是忽视了构成概念的基础条件，留给学生更多的只是些文字的公式，所传授的概念距离学生的理解和经验太远，影响数学概念的掌握。现状三：重视内涵忽视外延概念只要将内涵按一定规律扩大或缩小便可形成一类概念，再根据这些概念的外延及相互关系，便可确定一个概念系统。但是概念教学中往往只重视概念的内涵而忽视概念的外延，结果导致外延被扩大或缩小。比如，学生把非本质属性包括到概念的内涵中，如此就会不合理地缩小了概念，消除这种错误的有效方法是多提供包括非本质特征的变式。当概念的内涵中包含的不是事物的本质而是其他特征时，如此就有可能不合理地扩大概念，消除这种错误的有效方法是提供具有本质特征的变式。对上述概念教学现状的分析，事实上也是对现有高中数学概念教学模式的一种深刻反思，有效的数学概念教学，决不是以让学生学会概念为终极目标，而是让学生在参与数学活动的过程中生成和建构数学概念，更要让学生在知识和能力上获得全面的发展，从而促进数学素养的有效提升。如何创造一种更加适合高中学生的概念教学方式，如何提高概念教学的有效性，值得我们努力探究。三、概念教学有效性的理性认识1、课题研究的理论依据一般来说，数学概念要经历感知、理解、巩固和应用四种心理过程。数学概念教学主要依据有如下理论。提升高中数学概念教学有效性的策略研究第 5 页 共 16 页（1）奥苏贝尔（当代美国的著名教育心里学家）概念学习理论： 在奥苏贝尔的理论中，所谓概念亦即同类事物的共同关键特征，它是类与类，类与事物相区别的关键。而概念学习则是指学习者通过学习概念既掌握同类事物的关键特征，同时也区分概念的有关特征与无关特征，概念的肯定例证与否定例证。在奥苏贝尔的概念学习理论中，他将概念的习得分作了概念的形成与概念的同化两种形式，这两种形式也较深刻的揭示出了学生知识形成的过程。 （2）皮亚杰的建构理论：皮亚杰的认识理论形成的四阶段：感知运动阶段、前运演阶段、具体运演阶段、形式运演阶段。这四个阶段在概念的形成过程中表现为：隐概念、前概念、初概念和逻辑数学概念。皮亚杰认为，发生认识的发展涉及到图式、同化、顺应和平衡四个方面。在涉及概念形成的条件时，皮亚杰认为,概念的形成正是基本知觉材料与超越知觉范围的逻辑数学结构的结合、因此知识是一种结构，然而离开了主体的建构活动，就不能有知识的产生。皮亚杰认为，概念的掌握过程无非是经历了一个同化与顺应的过程；所谓同化，就是把新概念、新知识接纳入到一个已知的认知结构中去；所谓顺应，就是当原有的认知结构不能纳入新概念时，必须改变已有的认知结构，以适应新概念。2、课题概念的界定（1）数学概念概念是反映对象的特有属性的思维形式。人们通过实践，从对象的许多属性中，抽出其特有属性概括而成。概念的形成，标志人的认识已从感性认识上升到理性认识。科学认识的成果，都是通过形成各种概念来总结和概括的。数学概念，是对客观事物或思想事物的数量关系、空间形式或结构形式的特征概括及其本质属性在人们头脑中的反映。一个数学概念通常用一个词（名称）或符号表示。（2）数学概念教学 有关数学概念教学的定义很多。结合小学生的年龄特征，笔者认为是在一个具体的情境下，学生通过感知概念的表象等方式，进而理解概念的本质，初步建立新的知识结构的过程。重点指向的是学生学习概念内核，最后达成运用概念，巩固、拓展的环节。（3）有效教学从教学投入与教学产出的关系来看，有效教学是有效率的教学；是指在一定的教学投入内（时间、精力、努力）带来最好教学效果的教学；是指教师遵循教学活动的客观规律，以尽可能少的投入，取得尽可能多的教学效果，从而实现特定的教学目标，满足社会和个人的教育价值需求。从学生的学习出发点来看，有效教学就是促进学生有效学习，使学生学好；是指成功实现了教学目的学生愿意学习和在教学后能够从事教学前所不能从事的学习的教学。从“教学”的内涵来看，有效教学是教师教的活动即教学过程的有效性。从“有效”来看，它表现为教学有效果、有效率和有效益。有效果指学生的学习进步与发展；有效率指单位教学投入内所获提升高中数学概念教学有效性的策略研究第 6 页 共 16 页得的产出高；有效益指教学目标与特定的社会与个人的教育需求相吻合。3、数学概念教学的一般原则（1）现实性原则重视概念的引入在教学中，既应注意从学生的生活经验出发，也应该注意从解决数学内部的运算问题出发来引入概念，引导他们抽象出相应的数学概念，才能使学生较好地掌握概念的实质。（2）科学性原则揭示概念内涵和外延为准确、深刻地理解概念，教师在提供感性认识的基础上，必须作出辩证分析，用不同方法揭示不同概念的本质，这样，把握了概念的外延和内涵，也就能进一步掌握了概念的本质。（3）比较性原则注意概念之间的对比有些概念是成对出现的（如正数与负数等） ；有些概念是由概念的逆反关系派生出来的（如指数与对数等）等等。注意对相近、对立、衍生概念之间的比较，特别是通过反例来纠正学生在理解概念中的错误，有利于学生准确理解概念。（4）应用性原则加强概念的运用高中数学的运算、推理、证明等都是以有关概念为依据的，在教学中，有时围绕着一个概念要配备多种练习题，让学生从多角度，多层次上去进行应用，在应用中达到切实掌握数学概念的目的。四、概念教学有效性的策略研究在概念的教学中如何引导学生自主建构，提高概念外化与内质抽象的思维质辨力度呢？为此，我们尝试在概念形成的不同阶段，选择运用不同的教学策略，付之实践检验。策略 1：创设情境，感知概念概念的感知是形成概念的前提，学生对数学概念的感性认识是通过教师的直观教学方法获得的。概念的引入是概念教学的关键，概念是抽象的、概括的，由具体到抽象是人类认识的规律，每一个概念的产生都有丰富的知识背景，形成准确概念的首要条件是使学生获得十分丰富和合乎实际的感性材料，在概念教学中，可以根据概念和学生的认知特点，创设数学概念形成的问题情景，体会到数学概念引进的必要性和必然性，让学生有自己发现的感觉，帮助学生完成从感性认识到理性认识的过渡。【案例 1】 “直线与平面垂直”的概念教学片断问题情境：首先请学生们观察生活中的具体实例形成感性认识。给出以下实例：（1）将书打开直立于桌面，观察书脊和各页面与桌面的交线，显然都是垂直的；（2）在开门的过程中，观察门轴和门与地面的交线始终垂直的；（3）日光下，观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，尽管随着时间的变化，影子的位置提升高中数学概念教学有效性的策略研究第 7 页 共 16 页会移动，但旗杆始终与影子垂直。点评：从以上三个生活实例感悟直线与平面垂直的形象，从而形成直线与平面垂直的感性认识。然后通过动手实验、自主探索上升为理性认识。【案例 2】 “n 次独立重复实验”的概念教学片断问题情境设计：用动画创设情境，丙丙和丁丁在公园里种了 8 棵树，假设每棵树的成活率都为 0.75，请思考以下两个问题：(1)他们种的第一棵树的成活和第二棵树的成活相互之间有没有与影响？8 棵树各自的成活与否相互之间有没有影响？（2）所种的每一棵树，可能出现哪些不同的结果？进一步创设情境，对比分析，感知概念。在下列试验中，与丙丙和丁丁种树试验具有共同特征的有（ ）某射手射击一次，击中目标的概率是 0.9，他连续射击 4 次。姚明罚球的命中率是 0.9，他连罚 3 次。一枚硬币连续扔 5 次。 （5 枚硬币一起扔出）袋中 5 个白球，3 个红球，有放回取球，每次取一个，连续 3 次。袋中 5 个白球，3 个红球，无放回取球，每次取一个，连续 3 次。点评：通过以上情境设置，学生思考，教师引导感知，形成概念。师生共同归纳得出现象的共同点：在同样条件下重复的进行的一种试验；各次试验之间相互独立，相互之间没有影响；每一次试验只有两种结果，即某事发生或不发生，并且任意一次试验中发生的概率都是一样的，揭示概念。【感悟】教学时不要生硬地抛出概念，让学生死记硬背，应从实际出发，创设情景，提出问题，通过与概念有明显联系、直观性强的例子，使学生在对具体问题的体验中感知概念，形成感性认识。比如；我们在讲圆柱、圆锥、球的概念时，由于圆柱、圆锥、球属于三维图形，用平面直观图难免会造成视觉上的失真，我们可以借助教具、利用几何画板动画展示帮助学生理解；在讲数学归纳法的概念时，为了帮助学生更好的理解“递推”的含义，可以引进“多米诺”骨牌游戏。让学生在活动中思考、感悟和体验数学知识的萌芽以及发生、发展的全过程，以领悟数学思想方法的真谛，丰富学生的认知结构，应力求顺乎自然、水到渠成。提升高中数学概念教学有效性的策略研究第 8 页 共 16 页策略 2：自主探索，生成概念概念的生成过程教学就是让学生参与和经历概念生成的整个思维过程。因此，在教学中，恰当的进行教学设计，充分展示数学知识的形成过程，让学生弄清概念的来龙去脉，认识它的必要性和合理性，让学生在体验中自主探究，生成概念，概念在其生成的过程中逐渐明朗化，可以更好的帮助学生深化对概念的理解，培养学生运用概念的意识和能力。 【案例 3】 “抛物线及其标准方程”概念教学片段第一步：在学生已有认知基础上设计问题，使学生体验新概念的一个具体背景。师：前面我们已经学习了椭圆和双曲线的有关知识，请同学们试解决下面问题：问题 1：若点 坐标满足 ，则 点的轨迹是 ),(yxP 6)2()2(22 yxyx P。（学生思考并动笔，教师巡视，个别指导。 ）生 1：我利用平方化简，但还没有做出来。师：该同学平方化简，肯定可以得到答案，只是还需要一些时间，相信他一定能成功。生 2：上面式子表示两点距离之和，根据椭圆定义可知， 点轨迹是椭圆。P（学生纷纷表示生 2 的解法是正确的）问题 2：若点 坐标满足 ，则 点的轨迹是 ),(yxP 6)2()2(22 yxyx。 （学生认为是双曲线）师：是双曲线吗？生 3：应该是双曲线的上半支。 （由于第 1 题的解决对第 2 题有着提示和启发作用，所以第 2 题几乎所有学生都不再化简了，自然地联想到利用定义的解法中来，于是教师顺势抛出第 3 题。 ）问题 3：若点 坐标满足 ，则 点的轨迹是 。),(yxP0)(22yxP生 4：从条件的含义看，似乎不是椭圆，也不像双曲线。师：到底轨迹是什么，生 1 解问题 1 的方法会给我们很好的启示。提升高中数学概念教学有效性的策略研究第 9 页 共 16 页（学生再次化简，片刻后，一直得到的轨迹是抛物线，因为它的方程是 ，初中已经学过。82xy）第二步：剖析问题 3 条件的几何意义，并推出是否具有一般性的结论。师：若把条件中的“2”改成其他数字（非零） ，结果如何？生 5：轨迹仍然是抛物线，只是方程中的数字不同而已。师：那么条件所表示的几何意义又是什么呢？生 6：原方程即 ，左边表示点 到点 的距离，右边表示点2)(22yx ),(yxP)2,0(到直线 的距离，等式表示两个距离相等。),(yxP第三步：类比推广，从具体实例中抽象出抛物线的概念。师：从问题 3 的分析中我们可以看出，满足这些条件的轨迹都是抛物线。于是我们抛弃这些具体的位置和数据外壳，得出抛物线的定义。请哪位同学根据上面的等式，说出抛物线的定义。生 7：到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。师：不太准确，应该是在“平面内” ，接下来我们再用动画来演示一下这个定义下的轨迹点评：本案例从学生已有知识出发