2017年上海市静安区中考数学一模试卷含答案解析

第 1 页（共 23 页） 2017 年上海市静安区中考数学一模试卷 一、选择题（每小题 4 分，共 24 分） 1 a （ a 0）等于（ ） A B C D 2下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（ ） A x2+x+2y B x2+2 C x+4y D y 4 3在 ，点 D， E 分别在边 ， = ，要使 需满足下列条件中的（ ） A = B = C = D = 4在 ， C=90，如果 AB=m， A=，那么 长为（ ） A m m m m如果锐角 的正弦值为 ，那么下列结论中正 确的是（ ） A =30 B =45 C 30 45 D 45 60 6将抛物线 y=1 平移后与抛物线 y=a（ x 1） 2重合，抛物线 y=1 上的点 A（ 2， 3）同时平移到 A，那么点 A的坐标为（ ） A（ 3， 4） B（ 1， 2） C（ 3， 2） D（ 1， 4） 二填空题（每个小题 4 分，共 48 分） 7 16 的平方根是 8如果代数式 有意义，那么 x 的取值范围为 9方程 + =1 的根为 10如果一次函数 y=（ m 3） x+m 2 的图象一定经过第三、第四象限，那么常数 m 的取值范围为 11二次函数 y=8x+10 的图象的顶点坐标是 12如果点 A（ 1， 4）、 B（ m， 4）在抛物线 y=a（ x 1） 2+h 上，那么 m 的值第 2 页（共 23 页） 为 13如果 似比为 1： 4，那么 14在 ，如果 C=10， ，那么 重心到底边的距离为 15已知平行四边形 ，点 E 是边 中点， 交于点 F，设= ， = ，那么 = （用 ， 的式子表示） 16在 ，点 D， E 分别在边 ， 果 ， ， ，那么 周长为 17如图，在 ，点 D， E 分别在边 ， 果 ， ，那么 于 18一张直 角三角形纸片 C=90， 4， （如图），将它折叠使直角顶点 C 与斜边 中点重合，那么折痕的长为 三、解答题（共 78 分） 19计算： 20解方程组： 第 3 页（共 23 页） 21已知：如图，第一象限内的点 A， B 在反比例函数的图象上，点 C 在 y 轴上，x 轴，点 A 的 坐标为（ 2， 4），且 求：（ 1）反比例函数的解析式； （ 2）点 C 的坐标； （ 3） 余弦值 22将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏 底板 角为 115（如图1），侧面示意图为图 2；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架 O，电脑转到 的位置（如图 3），侧面示意图为图 4，已知 B=20BO 足为 C （ 1）求点 O的高度 OC；（精确到 （ 2）显示屏的顶部 B比原来升高了多少？（精确到 （ 3）如图 4，要使显示屏 OB与原来的位置 行，显示屏 OB应绕点 O按顺时针方向旋转多少度？ 参考数据：（ 23已知：如图，在 ，点 D， E 分别在边 ， D=E （ 1）求证： B=E； （ 2）如果 D证： C 第 4 页（共 23 页） 24如图，在平面直角坐标系 ，抛物线 y= 与 x 轴的正半轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B，点 C 在线段 ，点 D 在此抛物线上， x 轴，且 交于点 E （ 1）求证： （ 2）已知 ， ，求此抛物线的表达式 25如图，在梯形 ， 交于点 O， C，点 E 在 知 ， （ 1）求证： D （ 2）设 AD=x， CE=y，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出定义域； （ 3）如果 长 第 5 页（共 23 页） 2017 年上海市静安区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 4 分，共 24 分） 1 a （ a 0）等于（ ） A B C D 【考点】 分数指数幂；负整数指数幂 【分析】 根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，分数指数幂，可得答案 【解答】 解： a = = = ， 故选： C 2下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（ ） A x2+x+2y B x2+2 C x+4y D y 4 【考点】 实数范围内分解因式 【分析】 各项利用平方差公式及完全平方公式判断即可 【解答】 解： A、原式不能分解； B、原式 =（ x+y） 2 2=（ x+y+ ） （ x+y ）； C、原式 =（ x+y）（ x y） +4（ x+y） =（ x+y）（ x y+4）； D、原式 = y 2） 2=（ x+y 2）（ x y+2）， 故选 A 3在 ，点 D， E 分别在边 ， = ，要使 需满足下列条件中的（ ） A = B = C = D = 【考点】 平行线分线段成比例 【分析】 先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出 据相第 6 页（共 23 页） 似推出 B，根据平行线的判定得出即可 【解答】 解： 只有选项 D 正确， 理由是： ， ， = ， = = ， B， 根据选项 A、 B、 C 的条件都不能推出 故选 D 4在 ， C=90，如果 AB=m， A=，那么 长为（ ） A m m m m考点】 锐角三角函数的定义 【分析】 根据余角函数是邻边比斜边，可得答案 【解答】 解：由题意，得 ， Bm 故选： B 5如果锐角 的正弦值为 ，那么下列结论中正确的是（ ） A =30 B =45 C 30 45 D 45 60 【考点】 锐角三角函数的增减性 【分析】 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），可得答案 第 7 页（共 23 页） 【解答】 解：由 ，得 30 45， 故选： C 6将抛物线 y=1 平移后与抛物线 y=a（ x 1） 2重合，抛物线 y=1 上的点 A（ 2， 3）同时平移到 A，那么点 A的坐标为（ ） A（ 3， 4） B（ 1， 2） C（ 3， 2） D（ 1， 4） 【考点】 二次函数图象与几何变换 【分析】 根据两个抛物线的平移规律得到点 A 的平移规律，易得点 A的坐标 【解答】 解： 抛物线 y=1 的顶点坐标是（ 0， 1），抛物线 y=a（ x 1） 2的顶点坐标是（ 1， 0）， 将抛物线 y=1 向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位得到抛物线 y=a（ x 1） 2， 将点 A（ 2， 3）向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位得到点 A的坐标为（ 3，4）， 故选： A 二填空题（每个小题 4 分，共 48 分） 7 16 的平方根是 4 【考点】 平方根 【分析】 根据平方根的定义，求数 a 的平方根，也就是求一个数 x，使得 x2=a，则 x 就是 a 的平方根，由此即可解决问题 【解答】 解： （ 4） 2=16， 16 的平方根是 4 故答案为： 4 8如果代数式 有意义，那么 x 的取值范围为 x 2 【考点】 二次根式有意义的条件 【 分析】 根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式第 8 页（共 23 页） 即可 【解答】 解：由题意得， x+2 0， 解得， x 2， 故答案为： x 2 9方程 + =1 的根为 x=2 【考点】 解分式方程 【分析】 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 【解答】 解：去分母得： x 5+2x+2=1， 整理得： 3x+2=0，即（ x 2） （ x 1） =0， 解得： x=1 或 x=2， 经检验 x=1 是增根，分式方程的解为 x=2， 故答案为： x=2 10如果一次函数 y=（ m 3） x+m 2 的图象一定经过第三、第四象限，那么常数 m 的取值范围为 m 2 【考点】 一次函数图象与系数的关系 【分析】 根据一次函数的性质，一次函数 y=（ m 3） x+m 2 的图象一定经过第三、第四象限，那么图象一定与 y 轴的负半轴有交点，即可解答 【解答】 解： 一次函数 y=（ m 3） x+m 2 的图象一定经过第三、第四象限， 图象一定与 y 轴的负半轴有交点， m 2 0， m 2， 故答案为： m 2 11二次函数 y=8x+10 的图象的顶点坐标是 （ 4， 6） 【考点】 二次函数的性质 第 9 页（共 23 页） 【分析】 将二次函数化为顶点式后即可确定其顶点坐标 【解答】 解： y=28x+10=2（ x 4） 2 6， 顶点坐标为（ 4， 6）， 故答案为：（ 4， 6） 12如果点 A（ 1， 4）、 B（ m， 4）在抛物线 y=a（ x 1） 2+h 上，那么 m 的值为 3 【考点】 二次函数图象上点的坐标特征 【分析】 根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案 【解答】 解：由点 A（ 1， 4）、 B（ m， 4）在抛物线 y=a（ x 1） 2+h 上，得 （ 1， 4）与（ m， 4）关于对称轴 x=1 对称， m 1=1（ 1）， 解得 m=3， 故答案为： 3 13如果 似比为 1： 4，那么 1： 16 【考点】 相似三角形的性质 【分析】 直接根据相似三角形的性质即可得出结论 【解答】 解： 似比为 1： 4， 面积比 =（ ） 2=1： 16 故答案为： 1： 16 14在 ，如果 C=10， ，那么 重心到底边的距离为 2 【考点】 三角形的重心；等腰三角形的性质；解直角三角形 【分析】 根据等腰三角形的三线合一，知三角形的重心在 的高上根据勾股定理求得该高，再根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的 2倍，求得 G 到 距离 第 10 页（共 23 页） 【解答】 解： C=10， 等腰三角形 三角形的重心 G 在 的 高 ， 在 的高 =6， 根据三角形的重心性质 G 到 距离是 2 故答案为： 2 15已知平行四边形 ，点 E 是边 中点， 交于点 F，设= ， = ，那么 = （用 ， 的式子表示） 【考点】 *平面向量；平行四边形的性质 【分析】 根据平行四边形的性质 及中点的定义得 D=2证 = ，根据 = = = （ ）可得答案 【解答】 解： 四边形 平行四边形，点 E 是边 中点， D=2 ， = =2， 则 = ， = = = （ ） = （ + ） 第 11 页（共 23 页） = ， 故答案为： 16在 ，点 D， E 分别在边 ， 果 ， ， ，那么 周长为 【考点】 相似三角形的性质 【分析】 根据题意画出图形，根据相似三角形的性质求出 长，进而可得出结论 【解答】 解：如图， = = ，即 = = ，解得 ， ， 周长 =E+ + = ； 故答案为： 17如图，在 ，点 D， E 分别在边 ， 果 ， ，那么 于 3： 2 【考点】 相似三角形的判定与性质 【分析】 由 出 = ，由 出 = = ，由此即可解决问题 【解答】 解： 第 12 页（共 23 页） = = = = ， = 故答案为 3： 2 18一张直角三角形纸片 C=90， 4， （如图），将它折叠使直角顶点 C 与斜边 中点重合，那么折痕的长为 13 【考点】 翻折变换（折叠问题） 【分析】 根据直角三角形的性质求出 得到 B，根据垂直的定义、等量代换得到 B，根据正切的定义、勾股定理计算即可 【解答】 解： 斜边 的中线， B= 2， B， 由题意得， 垂直平分线， 0，又 0， B， 设 x，则 x， 由勾股定理得， x， 第 13 页（共 23 页） 2x 3x= x 6， 解得， x= ， =13， 故答案为： 13 三、解答题（共 78 分） 19计算： 【考点】 特殊角的三角函数值 【分析】 根据特殊角三角函数值，可得答案 【解答】 解：原式 = = = 20解方程组： 【考点】 高次方程 【分析】 由 得出 x 3y= 2，由 得出 x（ x y+2） =0，组成四个方程组，求出方程组的解即可 【解答】 解： 由 得：（ x 3y） 2=4， x 3y= 2， 由 得： x（ x y+2） =0， 第 14 页（共 23 页） x=0， x y+2=0， 原方程组可以化为： ， ， ， ， 解得，原方程组的解为： ， ， ， 21已知：如图，第一象限内的点 A， B 在反比例函数的图象上，点 C 在 y 轴上，x 轴，点 A 的坐标为（ 2， 4），且 求：（ 1）反比例函数的解析式； （ 2）点 C 的坐标； （ 3） 余弦值 【考点】 待定系数法求反比例函数解析 式；解直角三角形 【分析】 （ 1）待定系数法求解可得； （ 2）作 x 轴于点 E， 于点 F，则 ，根据 = 得，即可知 而得出答案； （ 3）先求出点 B 的坐标继而由勾股定理得出 长，最后由三角函数可得答案 【解答】 解：（ 1）设反比例函数解析式为 y= ， 将点 A（ 2， 4）代入，得： k=8， 反比例 函数的解析式 y= ； （ 2）过点 A 作 x 轴于点 E， 于点 F，则 ， 第 15 页（共 23 页） = ， ， ， 点 C 的坐标为（ 0， 1）； （ 3）当 y=1 时，由 1= 可得 x=8， 点 B 的坐标为（ 1， 8）， C ， =3 ， = = 22将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏 底板 角为 115（如图1），侧面示意图为图 2；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架 O，电脑转 到 的位置（如图 3），侧面示意图为图 4，已知 B=20BO 足为 C （ 1）求点 O的高度 OC；（精确到 （ 2）显示屏的顶部 B比原来升高了多少？（精确到 （ 3）如图 4，要使显示屏 OB与原来的位置 行，显示屏 OB应绕点 O按顺时针方向旋转多少度？ 参考数据：（ 第 16 页（共 23 页） 【考点】 解直角三角 形的应用 【分析】 （ 1）解直角三角形即可得到结论； （ 2）如图 2，过 B 作 延长线于 D，根据三角函数的定义即可得到结论； （ 3）如图 4，过 O作 E，根据平行线的性质得到 15，于是得到结论 【解答】 解：（ 1） BO 足为 C， =115， =65， = ， OC=OA=20 （ 2）如图 2，过 B 作 延长线于 D， 15， 5， ， B0 OB+OC 0+ 显示屏的顶部 B比原来升高了 （ 3）如图 4，过 O作 E， 15， = O15 90=25， 显示屏 OB应绕点 O按顺时针方向旋转 25 度 第 17 页（共 23 页） 23已知：如图，在 ，点 D， E 分别在边 ， D=E （ 1）求证： B=E； （ 2）如果 D证： C 【考点】 相似三角形的判定与性质 【分析】 （ 1）由 D=E 得 ，结合 B= B，证 ，即可得证； （ 2）先根据 D B，再由 证 据 B+ 得 可得证 【解答】 证明：（ 1） D=E， ， 又 B= B， ， B=E； 第 18 页（共 23 页） （ 2） D ， B， ， B= B， B+ C 24如图，在平面直角坐标系 ，抛物线 y= 与 x 轴的正半轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B，点 C 在线段 ，点 D 在此抛物线上， x 轴，且 交于点 E （ 1）求证： （ 2）已知 ， ，求此抛物线的表达式 【考点】 二次函数综合题 【分析】 （ 1）根据相似三角形的判定定理得到 据相似三角形的性质定理得到 = ，根据相似三角形的判定定理证明即可； （ 2）设 AC=m，根据正切的定义得到 m，根据相似三角形的性质得到 0，根据勾股定理列出算式，求出 m 的值，利用待定系数法求出抛物线第 19 页（共 23 页）