2013学年广州市高二年级数学学生学业水平测试

2013 学年广州市高二年级学生学业水平数学测试本试卷分选择题和非选择题两部分, 共 4 页. 满分 150 分. 考试用时 120 分钟.参考公式：锥体的体积公式： ，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高，13V一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1.函数 的定义域为()1fxA B C D,11,12.集合a,b,c的子集个数是( )A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3.已知数列 满足 ，则 的值为（ ）na11,na3aA. 2 B. 3 C. 4 D. 54.经过点（3,0）且与直线 平行的直线方程为（ ）250xyA. B. 0xy2C. D. 665. 函数 的一个单调区间是（ ）sinA B,4,2C D3, 3,6.做一个体积为 32m3，高为 2m 的无盖长方体的纸盒，则用纸面积最小为 （ ）A. 64m2 B. 48m2 C. 32m2 D. 16m27. 已知变量 满足约束条件 则目标函数xy, 01xy,.的最小值为（ ）2zA B 54C D 328.如图 1 所示，程序框图（算法流程图）输出的结果是 （ ）A2 B4 C8 D16 9.关于 x 的不等式 的解集中的一个元素为 1，则实数220xa的取值范围是（ B ）aA. B.（-1,2）,1,C. D. （-1, ）21210.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是（0,0,0） ，Oxyz（1,1,0） ， （1,0,1） ， （0,0,a） (a0)，画该四面体三视图中的正视图时，以 平面为投影面，得到正视图的面积为 2，则该四面体的体积是xOz（ ）出1x=1,y1x=+1,y=2出出x3?出y出出z yo(0,)xD1N(0,a)QC1B1P(1,0)A BCM(1,0)A. B. C. 1 D. 13232二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分. 11.在ABC 中，ABC=45 0，AC=2，BC=1 ，则 sinBAC 的值为 .12.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录用茎叶图表示（图 2） ，则该赛季发挥更稳定的运动员是 .（填“甲”或“乙” ）13.已知向量 则 .(1,)(3,4)ABCB14.已知x表示不超过实数 x 的最大整数，g(x)=x， 是函数0x的零点，则 g( )的值等于 .2logfx0三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程.15.（本小题满分 12 分）某中学高一年级新生有 1000 名，从这些新生中随机抽取 100 名学生作为样本测量其身高（单位：cm） ，得到频率分布表如下：身高 15,60,156,701,57,180男 0.01 0.10 0.25 0.25 0.09频率女 0.05 0.10 0.10 0.04 0.01（1）试估计高一年级新生中身高在 上的学生人数；175,80（2）从样本中身高在区间 上的女生中任选 2 名，求恰好有一名身高在区间 上的, 175,80概率.16. （本小题满分 12 分）已知函数 .()sincos,6fxxR（1）求 的值；0（2）若 是第四象限角，且 ，求 的值 .13ftan8 0 4 6 3 1 2 5 3 6 8 2 5 43 8 9 3 1 6 1 6 7 9 4 4 9 1 5 0乙乙乙217. （本小题满分 14 分）如图 3，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E,F 分别是 A1D1,A1A 的中点。（1）求证： 平面 ；/BCEF（2）在棱 上是否存在点 G，使得 ？若存在，求 的AEG长度；若不存在，说明理由。18. （本小题满分 14 分）,已知直线 与圆 相交于 A,B 两点，圆 与圆 相外切，且与直线 相:lykx21:1Cy2C1l切于点 。3,M（1）求 k 的值；（2）求 的长；AB（3）求圆 的方程。219. （本小题满分 14 分）设数列 是等比数列，对任意 ， ，已知 ，na*nN1235.21n nTaa1T。27T（1）求数列 的通项公式；n（2）求使得 成立的最大正整数 n 的值。1260T（2） 。 。 。 。 。 。2135.135.2nn naa出3D CBAA1 B1C1D1EF20. （本小题满分 14 分）已知函数 是定义在 R 上的奇函数，当 时，fx0x2.fx（1）求函数 的解析式；（2）求函数 在区间 上的最大值。f,1a2013 学年广州市高二年级学生学业水平数学测试答案一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1. ADCDA BA CB B10.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是（0,0,0） ， （1,1,0） ， （1,0,1） ， （0,0,a） Oxyz(a0)，画该四面体三视图中的正视图时，以 平面为投影面，得到正视图的面积为 2，则该四面体的体积是（ ）A. B. C. 1 D. 132323 解： ，令 n=1， ，1,na112a令 n=2， .4解：关于 x 的不等式 的解集中的一个元素为 1，220x所以 ， ，-1a2.f 10.解：这个四面体是图中的 O-MNP，又以 平面为投影面得到xOz正视图是如图阴影的四边形 ONQP，它的面积为 2，所以解得 。12,2a3四面体的体积是（M-OPN）(OPN 是底面，MQ 是高) =1 133ODAS12二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分. 11. .2412. 乙 .13.（2,2） .14 1 .14 解：函数 的零点 是方程21logfxx0的解，即函数2log0,即 21log,yxy与交点的横坐标。画出函数 图像，可见 1 2，1 2，又x表示不超过实数 x 的21l,y与 00x最大整数，g( )= =1.0x三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程.15.解（1）样本中身高在 上的学生人数等于 100（0.25+0.04+0.09+0.01 ）=39 人，175,80估计高一年级新生中身高在 上的学生人数是 39 =390 人，10（2）样本中身高在区间 上的女生有 100（0.04+0.01）=5 人，分别记为 1,2,3,4，其中身高在区,间 上的女生有 1000.01=1 人，记为 5.175,80从这 5 人中选 2 人有 10 种不同选法。其中恰好有一名身高在区间 上有 4 中，175,802 3 4 5 1 45 4 5323 4 5 421 y=log2xy=1xx0121y x0z yo(0,)xD1N(0,a)QC1B1P(1,0)A BCM(1,0)所以恰好有一名身高在区间 上的概率是 。175,8042105P16. 解（1） ，(0)sincos62f（2），33即 ，11sincossinco22又 是第四象限角，所以 。2sini ,ta23co17. 证明：（1）连接 AD1，AB C1D1,ABC 1D1是平行四边形，所以 ，又 E,F 分别是/ 1/BCADA1D1,A1A 的中点，所以 ，EFA所以 ，又 BC1 在 平面 外，EF 在 平面 内， 所以 平面 。/BCEF1/EF（2）设在棱 上是否存在点 G，使得 ，记 =x，1 1AG以 A1 为坐标原点，A 1B1 为 x 轴，A 1D1 为 y 轴建立坐标系，则 C1（1,1） ，E(0 ， ),G(x,0),若2，则 ，EG1EGCk，当 = 时，有2,104x1A。又 CC1 平面 A1B1C1D1，EG 在平面A1B1C1D1内，所以 CC1 EG，又 CC1 与 相交于E点 C1，CC1 与 都在平面 内， 所以 EG 平面E，又 CE 在平面 内，所以 。1G所以当 = 时，有 。1G4C18. 解：（1）直线 经过点 ，所以:lykx3,M。3,k（2）圆 的圆心为 C1（1,0） ，半径为21:Cxy1，直线 ，,03l点 C1（1,0）到直线 的距离等于 ，所以l2d。2ABd（3）方法 1：过点 M 作与直线 垂直的直线 ，它的方程l/l是 ，即3yx34yx设圆 的圆心 ，又 C1（1,0） ，2C2,ay xD1 C1A1 B1EGG图 3FEB1A BCDA1 C1D1lC221PNC2CxBAOyHM圆 与圆 相外切，且与直线 相切于点 。所以 ,2C1l3,M122CM即 ，解得 或 ，2234143aaaa14a20对应的圆心（4,0） ，半径为 2；圆心（0, ） ，半径为 6；4所以圆 的方程为 或 。2xy22xy方法 2：设圆 的方程为C0abr则 ，即 ，122rMl2211.()3.(3)rba由（3）解得 代入（2）得到34b2243raa再把 b 和 r 代入（1） ，21341解得 或 ，对应的圆心（4,0） ，半径为 2；圆心（0, ） ，半径为 6；4a20所以圆 的方程为 或 。C24xy236xy方法 3：当圆 在直线 的下方时，过点 M 作与直线 垂直的直线 ，过 作直线 的平行线与直线2l l/l1Cl相交于点 P，设圆 的半径为 r。C 1（1,0） ，圆 与圆 相外切，且与直线 相切于点 ，/l 21 3,M ，OM, ，1 32ABCN2212PCNr，在直角三角形 P 中， ，解得 r=2.2r1C223rr在直角三角形 OM 中， ，cos MO ,MO =300，又直线2224O232C的倾斜角为 300，所以 在 x 轴正半轴上，得 （4,0） ，l 2所以圆 的方程为 。2C4y同理，当圆 在直线 的上方时，过点 M 作与直线 垂直的直线 ，过 作直线 的平行线与直线 相l l/l1l/l交于点 P，设圆 的半径为 r。C 1（1,0） ，圆 与圆 相外切，且与直线 相切于点 ，2 21C3,M，3OM, ，1 32ABCN2212PCNr，在直角三角形 P 中， ，解得 r=6.2r1C23rr在直角三角形 OM 中， ，cos MO ,MO =600，又直线22264O22的倾斜角为 300，所以 在 y 轴正半轴上，得 （0, ） ，l 2C2C43所以圆 的方程为 。22436x19. （2） 。 。 。 。 。 。21125.15.2nn nTaa。 。 。 。 。 。31nn -: 123 4.2 2nn n，所以 。 【这是错位相减法】2nnT【求和 的方法 2（裂项相消法+待定系数法） 】令 =T12n1 112n nababanbab ，比较系数得到 a=2,2a+b=-1,解得 a=2,b=-5.1nn所以 ，1 1352532n nn所以 2125.13.n nT 112 3413 .532nn 。n又 ，即 ， ，160n13260nn23n又 ，42523,8所以，使得 成立的最大正整数 n 的值是 4.1nnT20. 解：（1）函数 是定义在 R 上的奇函数，在 f(-x)=-f(x)中，令 x=0，解得 f(0)=0；fx又当 时， ，0x2所以当 时， ，022.ffxx函数 的解析式是