数学实验报告

数学实验报告第一题:实验问题：1790 年到 1980 年各年美国人口数的统计数据如下表：表 一：美国人口数统计数字（单位：百万）年份年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880统计统计 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2年份年份 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980统计统计 62.0 72.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5根据前一百年的数据，分别用 Malthus 模型和 Logistic 模型建立美国人口增长的近似曲线（设美国人口总体容纳量为 10 亿） ，并预测一百年后的人口数，通过与实际数据相比较，对两种预测结果进行分析。1. Malthus 模型打开 MATLAB，在编辑窗口建立一个 M 文件，输入以下程序编码：clear;clft=1790:10:1980;N=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.0 72.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5;plot(t,N,k.,markersize,20);axis(1790 1980 0 1000);grid;hold onxlabel(时间/年itx)ylabel(人口数量 /百万ity)title(Malthus 模型下人口模拟图 )text(1935,700,模拟曲线)text(1940,220,实际人数)pause(0.5)n=10;a=sum(t(1:n);b=sum(t(1:n).*t(1:n);c=sum(log(N(1:n);d=sum(t(1:n).*log(N(1:n);A=n a;a b;B=c;d;p=inv(A)*Bx=1790:10:1980;y=exp(p(1)+p(2).*x);plot(x,y,r-,linewidth,2)然后默认保存在 work 文件夹中，名为 line.m,在命令窗口中输入 line 得出如下结果：由结果知：a=-49.7954,b=0.0286，从而美国 Malthus 模型增长拟合曲线为：N=e-49.7954+0.0286t其曲线如下图所示：根据此 Malthus 模拟曲线求得的从 1790 至 1980 年的人口数字与实际数据的比较如表二所示：表 二: Malthus 模型下美国人口统计与预测数字（单位：百万）年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880统计 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2预测 4.0 5.4 7.2 9.5 12.7 16.9 22.4 29.9 39.8 52.9年份 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980统计 62.0 72.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5预测 70.5 93.8 124.8 166.2 221.2 294.4 391.9 521.6 694.3 924.12Logistic 模型打开 MATLAB，在编辑窗口建立一个 M 文件，输入以下程序编码：clear;clft=1790:10:1980;N=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.0 72.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5;plot(t,N,k.,markersize,20);axis(1790 1980 0 1000);grid;hold onxlabel(时间/年itx)ylabel(人口数量 /百万ity)title(Logistic 模型下人口模拟图 )text(1935,400,模拟曲线)text(1940,220,实际人数)pause(0.5)n=10;k=1000;M=1./N-1./k;a=sum(t(1:n);b=sum(t(1:n).*t(1:n);c=sum(log(M(1:n);d=sum(t(1:n).*log(M(1:n);A=n a;a b;B=c;d;p=inv(A)*Bx=1790:10:1980;y=1./(1./k+exp(p(1)+p(2).*x);plot(x,y,r-,linewidth,2)然后默认保存在 work 文件夹中，名为 logistic.m ,在命令窗口中输入logistic 得出如下结果：由结果知：a=50.7047,b=-0.0291，从而美国 Malthus 模型增长拟合曲线为：150.74.0291() tNte其曲线如下图所示:根据此 Malthus 模拟曲线求得的从 1790 至 1880 年的人口数字与实际数据的比较以及对 1890 至 1980 年的预测数据与实际数据的比较如表 三所示：表 三: Logistic 模型下美国人口统计与预测数字（单位：百万）年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880统计 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2预测 4.0 5.4 7.2 9.5 12.7 16.9 22.6 30.0 39.7 52.4年份 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980统计 62.0 72.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5预测 68.8 90.0 116.9 150.4 191.5 240.6 297.7 361.9 431.4 503.7第二题（线性函数极值求解）实验问题：某医院每日至少需要护士人数如表所示：班次 时间段 人数1 6：0010：00 602 10：0014：00 703 14：0018：00 604 18：0022：00 505 22：002：00 206 2：006：00 30每班的护士在值班开始时向病房报到，连续工作八小时，医院至少需要多少护士才能满足值班要求？解：设第 i 歌班次开始上班的护士数为 ，建立以下线性规划模型：ixminz= 21x345x60621x3504x265x( ),543,10ii程序为：c=1,1,1,1,1,1a=-1,0,0,0,0,-1;-1,-1,0,0,0,0;0,-1,-1,0,0,0;0,0,-1,-1,0,0;0,0,0,-1,-1,0;0,0,0,0,-1,-1b=-30;-60;-60;-50;-20;-20x=linprog(c,a,b)minz=c*x程序运行的结果:图 1图 2由此可得，至少需要护士的人多数为 24+35+31+18+8+11=127实验问题：现要在一旷野区域举行一场自行车赛，为了了解环形赛道的路况，现对一选手比赛情况进行监测，该选手从 A 地出发向东到 B，再经 C，D 回到 A 地（如图） 。现从选手出发开始计时，每隔 15min 观测其位置，所得相应各点坐标如下表（假设体力是均衡分配的）由 AB 各点的位置坐标（单位：km）横坐标x 0.2 4.96 6.55 9.71 13.17 16.23 18.36纵坐标y 6.66 5.28 4.68 5.19 2.34 6.94 5.55横坐标x 20.53 23.15 26.49 28.23 29.1 30.65 30.92纵坐标y 9.86 5.28 3.87 3.04 2.88 3.68 2.38横坐标x 31.67 33.03 34.35 35.01 37.5纵坐标y 2.06 2.58 2.16 1.45 6由 DCB 各点的位置坐标（单位：km）横坐标x 1.8 4.9 6.51 9.73 13.18 16.2 18.92纵坐标y 19.89 24.52 34.82 40.54 37.67 41.38 30横坐标x 20.5 23.23 25.56 28.31 29.45 30 30.92纵坐标y 19.68 14.56 18.86 18.55 22.66 18.28 15.06横坐标x 31.67 33.31 34.23 35.81 37.5纵坐标y 13.42 11.86 7.68 9.45 6赛道散点分布图假设：1.车道几乎是在平地上，但有三种路况（根据平均速度 v(km/h)大致区分）：平整沙土路（v30）,坑洼碎石路（12v30）,松软泥泞路（v12）;2.车道是一条连续的可以用光滑曲线来近似的闭合路线；3选手的速度是连续变化的。求解：1.模拟比赛车道的曲线；2.模拟选手的速度曲线；3.分析车道上相关路段的路面状况（在车道上用不同颜色标记出来） ；问题的分析：这是一个关于曲线模拟的问题。根据实验要求，首先要模拟出赛道曲线，这个可以用分段线性插值或三次样条插值的方法解决，但 matlab提供的相应指令不能直接解决闭合曲线的问题，因此我们将赛道的闭合曲线截断成两条曲线A-B,A-C-B,然后分别对两条曲线进行插值。至于估计赛道的长度和所围区域的面积，则不难用曲线的弧长公式及微积分的方法分别求解之。根据实验要求，接着需要模拟出选手的速度曲线。实验条件中没有给出速度，只给出了一些离散点的坐标及时间，因此我们可以 求出每一小段的平tsv均速度，并将它近似看做那一小段时间中点的瞬时速度，这样，我们就得到了一系列离散的（v,t）点，然后再仿照模拟赛道曲线的方法模拟出速度曲线。值得一提的是，在计算每一小段的平均速度时，由于点的横纵坐标都是以数组的形式给出，我们要得到 x1-x2,y1-y2,就要让两个数组中的元素依次相差一个位置，具体地说，x1=0.2,4.96,6.55,9.71,x2=4.96,6.55,9.71.这样，就能正确地计算出每一小段的平均速度。另外，起点 A的速度应