二次函数讲义详细VIP

第一讲 二次函数的定义知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做cbaxy,(2)0ay的二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）x二次项系数不为 0考点：二次函数的二次项系数不为 0，且二次函数的表达式必须为整式例 1、 函数 y=（m ） x 2m2x1 是二次函数，则 m= 例 2、 下列函数中是二次函数的有（ ）y=x x1；y=3 （x1） 22；y= （x3） 22x 2；y= 21xxA1 个 B2 个 C 3 个 D4 个例 3、某商场将进价为 40 元的某种服装按 50 元售出时，每天可以售出 300 套据市场调查发现，这种服装每提高 1 元售价，销量就减少 5 套，如果商场将售价定为 x，请你得出每天销售利润 y 与售价的函数表达式例 4 、如图，正方形 ABCD 的边长为 4，P 是 BC 边上一点，QP AP 交 DC 于 Q，如果 BP=x，ADQ 的面积为 y，用含 x 的代数式表示 y训练题:1、已知函数 y=ax2bxc （其中 a，b，c 是常数） ，当 a 时，是二次函数；当 a ，b 时，是一次函数；当 a ，b ，c 时，是正比例函数2、若函数 y=(m2+2m7)x 2+4x+5 是关于 x 的二次函数，则 m 的取值范围为 。3、已知函数 y=(m1)x 2m +1+5x3 是二次函数，求 m 的值。4、已知菱形的一条对角线长为 a，另一条对角线为它的 3倍，用表达式表示出菱形的面积 S 与对角线 a 的关系5、请你分别给 a，b，c 一个值，让 为二次函数，且让一次函数 y=ax+b 的图像经过一、二、cbxay2三象限6下列不是二次函数的是（ ）Ay=3x 24 By= 31x2 Cy= 52xDy=（x1） （x2）7函数 y=（m n）x 2mxn 是二次函数的条件是（ ）Am、n 为常数，且 m0 Bm 、 n 为常数，且 mnCm、n 为常数，且 n0 Dm、n 可以为任何常数8如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为 135的两面墙，另外两边是总长为 30 米的铁栅栏 （1）求梯形的面积 y 与高 x 的表达式；（2）求 x 的取值范围9如图，在矩形 ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm点 P 从点 A 开始沿 AB 方向向点 B 以 1cm/s 的速度移动，同时，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向 C 以 2cm/s 的速度移动如果 P、Q 两点分别到达 B、C 两点停止移动，设运动开始后第 t 秒钟时，五边形 APQCD 的面积为 Scm2，写出 S 与 t 的函数表达式，并指出自变量 t 的取值范围10已知：如图，在 RtABC 中，C=90，BC=4，AC=8点 D 在斜边 AB 上，分别作DEAC，DF BC，垂足分别为 E、F ，得四边形 DECF设 DE=x，DF=y （1）AE 用含 y 的代数式表示为： AE= ；（2）求 y 与 x 之间的函数表达式，并求出 x 的取值范围；（3）设四边形 DECF 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数表达式第二讲 二次函数的图像和性质知识点归纳：1、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法： ，顶点是 ，对称轴是直线abcxacbaxy4222 ），（ abc422.x（2）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.2、二次函数的图象及性质：（1）二次函数 y=ax2 (a0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是 y 轴；当 a0 时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当 a0 时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大（2）二次函数 的图象是一条对称轴平行 y 轴或者与 y 轴重合的抛物线要会根据对称轴和图像cbxy判断二次函数的增减情况。3、图象的平移：左加右减，上加下减例 1、抛物线 y=2x 26x1 y=2x26x1对称轴顶点坐标开口方向位置增减性最值例 2、已知直线 y=2x3 与抛物线 y=ax2 相交于 A、B 两点，且 A 点坐标为（3，m） （1）求 a、m 的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3）x 取何值时，二次函数 y=ax2 中的 y 随 x 的增大而减小；（4）求 A、B 两点及二次函数 y=ax2 的顶点构成的三角形的面积例 3、求符合下列条件的抛物线 y=ax2 的表达式：（1）y=ax 2 经过（1，2） ；（2）y=ax 2 与 y= x2 的开口大小相等，开口方向相反；（3）y=ax 2 与直线 y= x3 交于点（2，m ） 例 4、抛物线 y=ax2bxc 如图所示，则它关于 y 轴对称的抛物线的表达式是 例 7、已知二次函数 y=（m2）x 2（m3）xm2 的图象过点（0，5）（1）求 m 的值，并写出二次函数的表达式；（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴例 5、二次函数 y=a(xh) 2的图象如图：已知 a= ，OAOC，试求该抛物线的解12 析式。例 6、试写出抛物线 y=3x2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。（1）右移 2 个单位；（2）左移 个单位；（3）先左移 1 个单位，再右移 4 个单位。23例 7、把抛物线 y=x2+bx+c 的图象向右平移 3 个单位，在向下平移 2 个单位，所得图象的解析式是y=x23x+5，试求 b、c 的值。训练题:1抛物线 y=4x 24 的开口向 ，当 x= 时，y 有最 值，y= 2当 m= 时，y= （m 1）x m23m 是关于 x 的二次函数3抛物线 y=3x 2 上两点 A（x，27） ，B （2，y） ，则 x= ，y= 4当 m= 时，抛物线 y=（m1）x 9 开口向下，对称轴是 在对称轴左侧，y 随 x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而 5抛物线 y=3x2 与直线 y=kx3 的交点为（2，b） ，则 k= ，b= 6已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 y 轴，且经过点（1，2） ，则抛物线的表达式为7在同一坐标系中，图象与 y=2x2 的图象关于 x 轴对称的是（ ）Ay= 21x2 By= 21x2 Cy=2x 2 Dy=x 28抛物线，y=4x 2，y= 2x 2 的图象，开口最大的是（ ）Ay= 4x2 By=4x 2 Cy=2x 2 D无法确定9对于抛物线 y= 31x2 和 y= x2 在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ）A两条抛物线关于 x 轴对称 B两条抛物线关于原点对称C两条抛物线关于 y 轴对称 D两条抛物线的交点为原点10二次函数 y=ax2 与一次函数 y=axa 在同一坐标系中的图象大致为（ ）11已知函数 y=ax2 的图象与直线 y=x4 在第一象限内的交点和它与直线 y=x 在第一象限内的交点相同，则a 的值为（ ）A4 B2 C 21D 4112.已知二次函数 y= 41x25x6，当 x= 时，y 最小 = ；当 x 时，y 随 x 的增大而减小13抛 物 线 y=2x2 向 左 平 移 1 个 单 位 ， 再 向 下 平 移 3 个 单 位 ， 得 到 的 抛 物 线 表 达 式 为14若二次函数 y=3x2+mx3 的对称轴是直线 x1，则 m 。15当 n_，m_ 时，函数 y(m n)x n(mn)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口_.16已知二次函数 y=x22ax+2a+3，当 a= 时，该函数 y 的最小值为 0.17.二次函数 y=3x26x+5 ，当 x1 时，y 随 x 的增大而 ；当 x0,b0,c0 B.a0,b0,c=0C.a0,b0,b 0 Bb -2aCa-b+c 0 Dc0； a+b+c 0 a-b+c 0 b 2-4acbc，且 abc0，则它的图象可能是图所示的( )6二次函数 yax 2bxc 的图象如图 5 所示，那么 abc，b 24ac， 2ab，abc 四个代数式中，值为正数的有( )A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个7.二次函数 y=ax2bxc 与一次函数 y=axc 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）8、在同一坐标系中，函数 y=ax2bx 与 y= xb的图象大致是图中的（ ）9.已知抛物线 yax 2bxc(a0)的图象如图所示，则下列结论： a，b 同号； 当 x1 和 x3 时，函数值相同； 4ab0; 当 y2 时，x 的值只能取 0；其中正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D411.已知二次函数 yax 2bxc 经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线 yaxbc 不经过（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限12、二次函数 的图象如图，下列判断错误的是 （ ）)0(2abxA B C D0a0c042acb13、 二次函数 cbxay2的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（ ）1 xAyO1 xByO1xCyO1xDyO第 13 题图yxO 11Aa0Bc 0C b420D a 0第四讲 二次函数的交点问题知识点：二次函数与 x 轴、y 轴的交点的求法：分别令 y=0,x=0；二次函数与一次及反比例函数等的相交：联立两个函数表达式，解方程.例 1、已知抛物线 yx 2-2x-8，（1）求证：该抛物线与 x 轴一定有两个交点，并求出这两个交点的坐标。（2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，且它的顶点为 P，求ABP 的面积例 2、如图，