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第 1 页(共 33 页) 2016年北京市丰台区九年级(上)期末数学试卷 一、选择题(本题共 30 分,每小题 3 分)下列各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的 1如图,点 D, E 分别在 上,且 果 :3,那么 于( ) A 3: 2 B 2: 5 C 2: 3 D 3: 5 2如果 O 的半径为 7心 O 到直线 l 的距离为 d,且 d=5么 O 和直线 l 的位置关系是( ) A相交 B相切 C相离 D不确定 3如果两个相似多边形的面积比为 4: 9,那么它们的周长比为( ) A 4: 9 B 2: 3 C : D 16: 81 4把二次函数 y=2x+4 化为 y=a( x h) 2+k 的形式,下列变形正确的是( ) A y=( x+1) 2+3 B y=( x 2) 2+3 C y=( x 1) 2+5 D y=( x 1) 2+3 5如果某个斜坡的坡度是 1: ,那么这个斜坡的坡角为( ) A 30 B 45 C 60 D 90 6如图, O 的直径, C, D 两点在 O 上,如果 C=40,那么 度数为( ) A 40 B 50 C 70 D 80 7如果 A( 2, B( 3, 点都在反比例函数 y= 的图象上,那么 大小关系是( ) 第 2 页(共 33 页) A y1= 如图, 半圆 O 的直径,弦 交于点 P,如果 , ,那么 S S 于( ) A 16: 9 B 3: 4 C 4: 3 D 9: 16 9如图,某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 测量操场旗杆高度,他们通过调整测量位置,使斜边 地面保持平行,并使边 旗杆顶点 A 在同一直线上,已知 , ,目测点 D 到地面的距离,到旗杆的水平距离 0 米,则旗杆的 高度为( ) A 10 米 B( 10 + C D 10 米 10如图,在菱形 , , 20,点 E 从点 B 出发,沿 直线 点 F,设点 E 移动的路程为 x, 面积为 y,则y 关于 x 的函数图象为( ) A B C D 第 3 页(共 33 页) 二、填空题(本题共 18 分,每小题 3 分) 11二次函数 y=2( x 1) 2 5 的最小值是 12已知 ,则 = 13已知一扇形的面积是 24,圆心角是 60,则这个扇形的半径是 14请写出一个符合以下两个条件的反比例函数的表达式: 图象位于第二、四象限; 如果过图象上任意一点 A 作 x 轴于点 B,作 y 轴于点 C,那么得到的矩形 面积小于 6 15如图,将半径为 3圆形纸片折叠后,劣弧中点 C 恰好与圆心 O 距离 1折痕 长为 16太阳能光伏发电是一种清洁、安全、便利、高效的新兴能源,因而逐渐被推广使用如图是太阳能电池板支撑架的截面图,其中的粗线 表示支撑角钢,太阳能电池板与支撑角钢 长度相同,支撑角钢 为 倾斜角为 30, A=50撑角钢 底座地基台面接触点分别为 D, F, 点 E两个底座地基高度相同(即点 D, F 到地面的垂直距离相同),均为 30 A 到地面的垂直距离为 50支撑角钢 长度是 长度是 第 4 页(共 33 页) 三、解答题(本题共 35 分,每小 题 5 分) 17计算: 60+ 0 18如图,在 , C=90, , 2,求 长 19已知二次函数 y= x2+x+c 的图象与 x 轴只有一个交点 ( 1)求这个二次函数的表达式及顶点坐标; ( 2)当 x 取何值时, y 随 x 的增大而减小 20如图,已知 分 = ( 1)求证: E= C; ( 2)若 , , ,求 长 21如图,在平面直角坐标系 ,反比例函数 y= 的图象与一次函数 y=x+1 的图象的一个交点为 A( 1, m) ( 1)求这个反比例函数的表达式; ( 2)如果一次函数 y= x+1 的图象与 x 轴交于点 B( n, 0),请确定当 x n 时,对应的反比例函数 y= 的值的范围 22已知:如图, O 的直径, O 的切线, A、 C 为切点, 0 第 5 页(共 33 页) ( 1)求 P 的大小; ( 2)若 ,求 长 23已知: ( 1)求作: 外接圆,请保留作图痕迹; ( 2)至少写出两条作图的依据 四、解答题(本题共 22 分,第 24 至 25 题,每小题 5 分,第 26 至 27 题,每小题 5 分) 24青青书店购进了一批单价为 20 元的中华传统文化丛书在销售的过程中发现,这种图书每天的销售数量 y(本)与销售单价 x(元)满足一次函数关系:y= 3x+108( 20 x 36)如果销售这种图书每天的利润为 p(元),那么销售单价定为多少元时,每天获得的利润最大?最大利润是多少? 25如图,将一个 正方形 放在一起,并使其直角顶点 P 落在线段 (不与 C, D 两点重合),斜边的一部分与线段 合 ( 1)图中与 似的三角形共有 个,分别是 ; ( 2)请选择第( 1)问答案中的任意一个三角形,完成该三角形与 似的证明 第 6 页(共 33 页) 26有这样一个问题:探究函数 y= 的图象与性质小美根据学习函数的经验,对函数 y= 的图象与性质进行了探究下面是小美的探究过程,请补充完整: ( 1)函数 y= 的自变量 x 的取值范围是 ; ( 2)下表是 y 与 x 的几组对应值 x 2 1 1 2 3 4 y 0 1 m 求 m 的值; ( 3)如图,在平面直角坐标系 ,描出了以上表中各对对应值为坐标的点根据描出的点,画出该函数的图象; ( 4)结合函数的图象,写出该函数的一条性质: 第 7 页(共 33 页) 27如图,以 边 直径作 O,与 于点 D,点 E 是弧 中点,连接 点 F, ( 1)求证: O 的切线; ( 2)若 , ,求 长 五、解答题(本题共 15 分,第 28 题 7 分,第 29 题 8 分) 28已知抛物线 y=a( x h) 2+2 的对称轴为 x= 1,且经过原点 ( 1)求抛物线 表达式; ( 2)将抛物线 沿 x 轴翻折,再向左平移 1 个单位后,与 x 轴分别交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于 C 点,求 A 点的坐标; ( 3)记抛物线在点 A, C 之间的部分为图象 含 A, C 两点),如果直线 m:y=2 与图象 有一个公共点,请结合函数图象,求直线 m 与抛物线 对称轴交点的纵坐标 t 的值或范围 第 8 页(共 33 页) 29如图,对于平面直角坐标系 的点 P 和线段 出如下定义:如果线段 存在两个点 M, N,使得 0,那么称点 P 为线段 伴随点 ( 1)已知点 A( 1, 0), B( 1, 0)及 D( 1, 1), E( , ), F( 0, 2+ ), 在点 D, E, F 中,线段 伴随点是 ; 作直线 直线 的点 P( m, n)是线段 伴随点,求 m 的取值范围; ( 2)平面内有一个腰长为 1 的等腰直角三角形,若该三角形边上的任意一点都是某条线段 a 的伴随点,请 直接写出这条线段 a 的长度的范围 第 9 页(共 33 页) 2016年北京市丰台区九年级(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本题共 30 分,每小题 3 分)下列各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的 1如图,点 D, E 分别在 上,且 果 :3,那么 于( ) A 3: 2 B 2: 5 C 2: 3 D 3: 5 【考点】 平行线分线段成比例 【分析】 由平行线分线段成比例定理即可得出结果 【解答】 解: D: : 3; 故选: C 2如果 O 的半径为 7心 O 到直线 l 的距离为 d,且 d=5么 O 和直线 l 的位置关系是( ) A相交 B相切 C相离 D不确定 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 根据直线和圆的位置关系的内容判断即可 【解答】 解: O 的半径为 7心 O 到直线 l 的距离为 d,且 d=5 5 7, 直线 l 与 O 的位置关系是相交, 故选 A 3如果两个相似多边形的面积比为 4: 9,那么它们的周长比为( ) 第 10 页(共 33 页) A 4: 9 B 2: 3 C : D 16: 81 【考点】 相似多边形的性质 【分析】 直接根据相似多边形周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方进行解答即可 【解答】 解: 两个相似多边形面积的比为 4: 9, 两个相似多边形周长的比等于 2: 3, 这两个相似多边形周长的比是 2: 3 故选: B 4把二次函数 y=2x+4 化为 y=a( x h) 2+k 的形式,下列变形正确的是( ) A y=( x+1) 2+3 B y=( x 2) 2+3 C y=( x 1) 2+5 D y=( x 1) 2+3 【考点】 二次函数的三种形式 【分析】 利用配方法整理即可得解 【解答】 解: y=2x+4, =2x+1+3, =( x 1) 2+3 故选 D 5如果某个斜坡的坡度是 1: ,那么这个斜坡的坡角为( ) A 30 B 45 C 60 D 90 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 根据坡角的正切 =坡度,列式可得结果 【解答】 解:设这个斜坡的坡角为 , 由题意得: : = , =30; 故选 A 6如图, O 的直径, C, D 两点在 O 上,如果 C=40,那么 度数为( ) 第 11 页(共 33 页) A 40 B 50 C 70 D 80 【考点】 圆周角定理 【分析】 由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,求得 度数由 O 的直径,根据直径所对的圆周角是直角求得 度数,进而即可求得 度数 【解答】 解: O 的直径, 0, C=40, C=40, 0 0 故选 B 7如果 A( 2, B( 3, 点都在反比例函数 y= 的图象上,那么 大小关系是( ) A y1= 考点】 反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】 直接把点 A( 2, B( 3, 点代入反比例函数 y= 的解析式,求出 值,再比较其大小即可 【解答】 解: A( 2, B( 3, 点都在反比例函数 y= 的图象上, , , 故选 B 第 12 页(共 33 页) 8如图, 半圆 O 的直径,弦 交于点 P,如果 , ,那么 S S 于( ) A 16: 9 B 3: 4 C 4: 3 D 9: 16 【考点】 相似三角形的判定与性质;圆周角定理 【分析】 根据图形可得 而得出 据相似三角形的性质可得, S S ) 2,最后根据 , 进行计算即可 【解答】 解: S S ) 2=( ) 2= , 故选: D 9如图,某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 测量操场旗杆高度,他们通过调整测量位置,使斜边 地面保持平行,并使边 旗杆顶点 A 在同一直线上,已知 , ,目测点 D 到地面的距离,到旗杆的水平距离 0 米,则旗杆的高度为( ) A 10 米 B( 10 + C D 10 米 【考点】 相似三角形的应用 【分析】 确定 出 似,根据相似三角形对应边成比例求出 13 页(共 33 页) 再根据旗杆的高度 =C 计算即可得解 【解答】 解: 0, 0, = , 即 = , 解得 0, 地面保持平行,目测点 D 到地面的距离 , G=, 旗杆的高度 =C=10+ 故选 C 10如图,在菱形 , , 20,点 E 从点 B 出发,沿 直线 点 F,设点 E 移动的路程为 x, 面积为 y,则y 关于 x 的函数图象为( ) A B C D 【考点】 动点问题的函数图象 【分析】 分两种情形求出 y 与 x 的关系即可判断 【解答】 解: 当 E 在 上时, 第 14 页(共 33 页) y=S 菱形 S S S 32 x ( 3 x) ( 3 x) = x 当点 E 在 时, y= ( 6 x) = x+ , 故选 C 二、填空题(本题共 18 分,每小题 3 分) 11二次函数 y=2( x 1) 2 5 的最小值是 5 【考点】 二次函数的最值 【分析】 由二次函数的定顶点式可得当 x=1 时, y 取得最小值 5 【 解答】 解: y=2( x 1) 2 5, 当 x=1 时, y 取得最小值 5, 故答案为: 5 12已知 ,则 = 【考点】 比例的性质 【分析】 由 ,得 x= y,再代入所求的式子化简即可 【解答】 解: ,得 x= y, 第 15 页(共 33 页) 把 x= y,代入 = 故答案为: 13已知一扇形的面积是 24,圆心角是 60,则这个扇形的半径是 12 【考点】 扇形面积的计算 【分析】 把已知数据代入扇形的面积公式 S= ,计算即可 【解答】 解:设这个扇形的半径是为 R, 则 =24, 解得, R=12, 故答案为: 12 14请写出一个符合以下两个条件的反比例函数的表达式: y= 图象位于第二、四象限; 如果过图象上任意一点 A 作 x 轴于点 B,作 y 轴于点 C,那么得到的矩形 面积小于 6 【考点】 反比例函数系数 k 的几何意义 【分析】 设反比 例函数解析式为 y= ,根据反比例函数的性质得 k 0,根据 k| 6,然后取一个 k 的值满足两个条件即可 【解答】 解:设反比例函数解析式为 y= , 根据题意得 k 0, |k| 6, 当 k 取 5 时,反比例函数解析式为 y= 故答案为 y= 15如图,将半径为 3圆形纸 片折叠后,劣弧中点 C 恰好与圆心 O 距离 1折痕 长为 2 第 16 页(共 33 页) 【考点】 翻折变换(折叠问题) 【分析】 连接 延长交 O 于 D,交 E,由点 C 是劣弧 中点,得到 E,根据勾股定理即可得到结论 【解答】 解:连接 延长交 O 于 D,交 E, 点 C 是劣弧 中点, E, , , E=1, , = , 故答案为: 2 16 太阳能光伏发电是一种清洁、安全、便利、高效的新兴能源,因而逐渐被推广使用如图是太阳能电池板支撑架的截面图,其中的粗线表示支撑角钢,太阳能电池板与支撑角钢 长度相同,支撑角钢 为 倾斜角为 30, A=50撑角钢 底座地基台面接触点分别为 D, F, 点 E两个底座地基高度相同(即点 D, F 到地面的垂直距离相同),均为 30 A 到地面的垂直距离为 50支撑角钢 长度是 45 长度是 300 第 17 页(共 33 页) 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 过 A 作 G,在 ,求得 5,再根据题意得出0 30=20,代入 G+出支撑角钢 长度;连接 延长与 ,在 ,根据三角函数的定义得到 0,在 据三角函数的定义即可得到结论 【解答】 解:过 A 作 G,则 0, 在 , 50 =25, 0 30=20, G+5+20=45, 即支撑角钢 长度是 45 连接 延长与 延长线交于 H,则 H=30, 在 , 0, H 0 50=40, 在 , = =290, H 90 40=250, E+50+50=300, 即 长度是 300 故答案为 45, 300 第 18 页(共 33 页) 三、解答题(本题共 35 分,每小题 5 分) 17计算: 60+ 0 【考点】 特殊角的三角函数值 【分析】 根据特殊角的函数值,直接计算即可 【解答】 解:原式 = = = 18如图,在 , C=90, , 2,求 长 【考点】 解直角三角形;勾股定理 【分析】 根据锐角三角函数的定义求出 据勾股定理求出 可 【解答】 解: C=90, 2, , 6, 62+122=400, 0 19已知二次函数 y= x2+x+c 的图象与 x 轴只有一个交点 第 19 页(共 33 页) ( 1)求这个二次函数的表达式及顶点坐标; ( 2)当 x 取何值时, y 随 x 的增大而减小 【考点】 抛物线与 x 轴的交点;待定系数法求二次函数解析式 【分析】 ( 1)二次函数 y= x2+x+c 的图象与 x 轴只有一个交点,可知 =0,解方程即可解决问题 ( 2)根据二次函数的增减性即可解决问题 【解答】 解:( 1)由题意得 =1+4c=0, c= , y= x2+x , 当 x= = 时, y=0, 顶点坐标为( , 0) ( 2) a= 1 0,开口向下, 当 x 时, y 随 x 的增大而减小 20如图,已知 分 = ( 1)求证: E= C; ( 2)若 , , ,求 长 【考点】 相似三角形的判定与性质 【分析】 ( 1)由 分 到 据三角形角平分线的到来得到 ,得到 ,推出 据相似三角形的性质即可得到结论; ( 2)根据相似三角形的性质得到 ,列方程即可得到结论 【解答】 ( 1)证明: 分 第 20 页(共 33 页) 又 ,得到 , E= C; ( 2)解: , 设 BE=x, , ,即 21如图,在平面直角坐标系 ,反比例函数 y= 的图象与一次函数 y=x+1 的图象的一个交点为 A( 1, m) ( 1)求这个反比例函数的表达式; ( 2)如果一次函数 y= x+1 的图象与 x 轴交于点 B( n, 0),请确定当 x n 时,对应的反比例函数 y= 的值的范围 【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】 ( 1)由点 A 在一次函数图象上利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点 A 的坐标,根据点 A 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可找出反比例函数表达式; ( 2)令一次函数表达式中 y=0 求出 x 值,进而可得出点 B 的坐标,根据点 B 的横坐标结合图形即可得出结论 第 21 页(共 33 页) 【解答】 解:( 1) 点 A 在一次函数 y= x+1 的图象上, m=( 1) +1=2, 点 A 的坐标为( 1, 2) 点 A 在反比例函数 的 图象上, k= 1 2= 2 反比例函数的表达式为 y= ( 2)令 y= x+1=0,解得: x=1, 点 B 的坐标为( 1, 0), 当 x=1 时, = 2 由图象可知,当 x 1 时, y 0 或 y 2 22已知:如图, O 的直径, O 的切线, A、 C 为切点, 0 ( 1)求 P 的大小; ( 2)若 ,求 长 【考点】 切线的性质 【分析】 ( 1)由圆的切线的性质,得 0,结合 0得 030=60由切线长定理得到 C,得 等边三角形,从而可得 P=60 ( 2)连接 据直径所对的圆周角为直角,得到 0,结合 B=6 且 0,得到 最后在等边 ,可得C=3 【解答】 解:( 1) O 的切线, O 的直径, 0 0, 第 22 页(共 33 页) 0 30=60 又 O 于点 A、 C, C, 等边三角形, P=60 ( 2)如图,连接 直径, 0, 在 , , 0, 可得 3 又 等边三角形, C=3 23已知: ( 1)求作: 外接圆,请保留作图痕迹; ( 2)至少写出两条作图的依据 【考点】 作图 复杂作图;三角形的外接圆与外心 【分析】 ( 1)分别作出线段 垂直平分线,画出外接圆即可; ( 2)根据线段垂直平分线的性质即可得出结论 【解答】 解:( 1)如图 O 即为所求; 第 23 页(共 33 页) ( 2)作图依据: 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上; 垂直平分线上一点到线段的两个端点距离相等 四、解答题(本题共 22 分,第 24 至 25 题,每小题 5 分,第 26 至 27 题,每小题 5 分) 24青青书店购进了一批单价为 20 元的中华传统文化丛书在销售的过程中发现,这种图书每天的销售数量 y(本)与销售单价 x(元)满足一次函数关系:y= 3x+108( 20 x 36)如果销售这种图书每天的利润为 p(元),那么销售单价定为多少元时,每天获得的利润最大 ?最大利润是多少? 【考点】 二次函数的应用 【分析】 根据 “总利润 =单件利润 销售量 ”列出函数解析式,并配方成顶点式可得最值情况 【解答】 解: p=( x 20)( 3x+108) = 368x 2160= 3( x 28) 2+192, 20 x 36,且 a= 3 0, 当 x=28 时, y 最大 =192 答:销售单价定为 28 元时,每天获得的利润最大,最大利润是 192 元 25如图,将一个 正方形 放在一起,并使其直角顶点 P 落在线段 (不与 C, D 两点重合),斜边的一部分与线 段 合 ( 1)图中与 似的三角形共有 3 个,分别是 t ( 2)请选择第( 1)问答案中的任意一个三角形,完成该三角形与 似的第 24 页(共 33 页) 证明 【考点】 相似三角形的判定;正方形的性质 【分析】 ( 1)根据相似三角形的判定定理得到 与似; ( 2) 用 “两角法 ”证得结论即可 【解答】 解:( 1)图中与 似的 三角形共有 3 个,分别是 t 故答案是: 3; ( 2)答案不唯一,如: 四边形 正方形, C=90 0, 又 C=90, 26有这样一个问题:探究函数 y= 的图象与性质小美根据学习函数的经验,对函数 y= 的图象与性质进行了探究下面是小美的探究过程,请补充完整: ( 1)函数 y= 的自变量 x 的取值范围是 x 2 且 x 0 ; ( 2)下表是 y 与 x 的几组对应值 第 25 页(共 33 页) x 2 1 1 2 3 4 y 0 1 m 求 m 的值; ( 3)如图,在平面直角坐标系 ,描出了以上表中各 对对应值为坐标的点根据描出的点,画出该函数的图象; ( 4)结合函数的图象,写出该函数的一条性质: 当 2 x 0 或 x 0 时, y随 x 增大而减小 【考点】 反比例函数的图象;函数自变量的取值范围 【分析】 ( 1)根据被开方数非负以及分母不为 0 即可得出关于 x 的一元一次不等式组,解之即可得出结论; ( 2)将 x=2 代入函数解析式中求出 m 值即可; ( 3)连点成线即可画出函数图象; 第 26 页(共 33 页) ( 4)观察函数图象,根据函数图象可寻找到函数具有单调性 【解答】 解:( 1)由 题意得: , 解得: x 2 且 x 0 故答案为: x 2 且 x 0 ( 2)当 x=2 时, m= =1 ( 3)图象如图所示 ( 4)观察函数图象发现:当 2 x 0 或 x 0 时, y 随 x 增大而减小 故答案为:当 2 x 0 或 x 0 时, y 随 x 增大而减小 27如图,以 边 直径作 O,与 于点 D,点 E 是弧 中点,连接 点 F, ( 1)求证: O 的切线; ( 2)若 , ,求 长 【考点】 切线的判定 第 27 页(共 33 页) 【分析】 ( 1)连接 圆周角定理得出 1= 2证出 C= 圆周角定理证出 0,得出 0,即可得出结论 ( 2)过点 G 由三角函数得出 ,设 m,则 m,由勾股定理求出 m求出 m= 得出 , 证出 D设BF=x,则 D=5 x由三角函数得出方程,解方程即可 【解答】 ( 1)证明:连接 图 1 所示 E 是弧 中点, , 1= 2 1 1, C= O 直径, 0 C=90 C= 0 0 即 又 半径外端, O 的切线 ( 2)解:过点 F 作 点 G如图 2 所示: 在 , 0, , 设 m,则 m, 由勾股定理得: = m , m= , 第 28 页(共 33 页) 1= 2, 0, D 设 BF=x,则 D=5 x 在 , 0, , 解得: =3 五、解答题(本题共 15 分,第 28 题 7 分,第 29 题 8 分) 28已知抛物线 y=a( x h) 2+2 的对称轴为 x= 1,且经过原点 ( 1)求抛物线 表达式; ( 2)将抛物线 沿 x 轴翻折,再向左平移 1 个单位后,与 x 轴分别交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于 C 点,求 A 点的坐标; ( 3)记抛物线在点 A, C 之间 的部分为图象 含 A, C 两点),如果直线 m:y=2 与图象 有一个公共点,请结合函数图象,求直线 m 与抛物线 对称轴交点的纵坐标 t 的值或范围 第 29 页(共 33 页) 【考点】 抛物线与 x 轴的交点;一次函数图象上点的坐标特征;二次函数图象与几何变换 【分析】 ( 1)根据待定系数法求得即可; ( 2)根据关于 x 轴对称的点的坐标特征即可求得; ( 3)求出直线 y=2 的解析式,再结合图象和点的坐标即可得出答案 【解答】 解:( 1) 抛物线 y=a( x h) 2+2 的对称轴为 x= 1, y=a( x+1) 2+2, 抛物线 y=a( x+1) 2+2 经过原点, a( 0+1) 2+2=0 解得 a= 2, 抛物线 表达式为 y= 2( x+1) 2+2= 24x; ( 2)由题意得,抛物线 表达式为 y

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