2018年电大本科《工程数学》期末复习资料多套汇编附答案

2018 年电大本科工程数学期末复习资料多套汇编附答案 工程数学（本）模拟试题一、单项选择题（每小题 3 分，共 21 分）1设 都是 阶矩阵 ，则下列命题正确的是（D BA,n)1(） A. 若 ，且 ，则 B. C0CB22)(C. D. ，且 ，则02在下列所指明的各向量组中， （B ）中的向量组是线性无关的A. 向量组中含有零向量B. 任何一个向量都不能被其余的向量线性表出C. 存在一个向量可以被其余的向量线性表出D. 向量组的向量个数大于向量的维数3设矩阵 ，则 A 的对应于特征值2103的一个特征向量 =( C ) 2A B C D1010014. 甲、乙二人射击， 分别表示甲、乙射中目标，则表示（ A）的事件A. 至少有一人没射中 B. 二人都没射中C. 至少有一人射中 D. 两人都射中5设 ， 是 的分布函数，则下列式子)1,0(NX(xX不成立的是（ C） A. B. 5.)(xC. D. a12(P6设 是来自正态总体 的样本，则（D 31,）是 无偏估计A. B. 321x3215xxC. D. 57对正态总体 的假设检验问题中， 检验解决的),(2NU问题是（A ） A. 已知方差，检验均值 B. 未知方差，检验均值C. 已知均值，检验方差 D. 未知均值，检验方差二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1设 是 2 阶矩阵，且 ， 1 9A)(12已知齐次线性方程组 中 为 矩阵，且该方程0X53组有非零解，则 3 )(r3 ，则 0.7 2.,5.0BP)(BP4若连续型随机变量 的密度函数的是X，则 其 它,012)(xxf )(E325若参数 的两个无偏估计量 和 满足12，则称 比 更 有效 )(212三、计算题（每小题 10 分，共 60 分）1设矩阵 ，问：A50,321BA是否可逆？若 A 可逆，求 解：因为143213210所以 A 可逆。利用初等行变换求 ，即A 1023401032111461051460103即 14651A由矩阵乘法得 520185021463512线性方程组的增广矩阵为 1231求此线性方程组的全部解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 270512315001275101273此时齐次方程组化为， （其中 x3 为自由未知量）.3217x分别令 ，得齐次方程组的一个基础解系311X令 ，得非齐次方程组的一个特解03x02由此得原方程组的全部解为（其中 为任意常数）1kk3用配方法将二次型化为标准32123221 44),( xxxf 型，并求出所作的满秩变换解： 213,f33221 4)( xxx233221)(令 321 ,4, xyxyxy 即得 3132),(f由（*）式解出 ，即得 321,x3234yy或写成 32132104yx4两台车床加工同样的零件，第一台废品率是 1，第二台废品率是 2，加工出来的零件放在一起。已知第一台加工的零件是第二台加工的零件的 3 倍,求任意取出的零件是合格品的概率解：设 ：“是第 台车床加工的零件” ， ：“零Aii(,)i2件是合格品”.由全概公式有显然 ， ， ，43)(1P1)(29.0)(1ABP，故9875.0.419.03)(BP5设 ，试求 ；),(NX)(XP （已知7,3.）2.)(解： )321()295(95 P574.083.7.0)1(3 )2XP)2(1(XP08.97.)16设 来自指数分布，其中 是未知参数，求 的最大0,e),(xxfx似然估计值解：答案: 解： 似然函数为0,0,e11xnix取对数得 nixL1lln求导得 i2d令 得 的最大似然估值nix1四、证明题（本题 4 分）设 是随机事件，试证：BA,)()()()( ABPP证明：由事件的运算得 ，且 与 互斥，由加法公式得 ，)()(又有 ，且 与 互斥，由加法公式得BA)(BAPP综合而得 ，证毕 )()(工程数学（本）模拟试题一、单项选择题（每小题 3 分，本题共 21 分）1设 为 阶矩阵，则下列等式成立的是（ A） BA,n(A) (B) B(C) (D) 11)(1)(2向量组 的秩是（ C） 32,0,(A) (B) 1(C) (D) 343设 是 阶方阵，当条件（B ）成立时， 元线性方程A组 有惟一解bX(A) (B) nr)( nr)(A(C) (D) 00b4设 为随机事件，下列等式成立的是（B ） (A) (B) )()(PA)(AP(C) (D) )(5随机事件 互斥的充分必要条件是（C ） (A) (B) BBA(C) (D) A0)(P6下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（A ） (A) (B) (C) (D) 其 它,0sin)(xxf其 它,2co)(f7设总体 满足 ，又，其中 是来自总体 的 个样品，则等式（B ）成立(A) (B)nXE)( )(XE(C) (D)2D2D二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1 *0102若 是 的特征值，则 是方程 A0AI的根3已知 ，则 5.0)(,9.)(BP)(BP4.04设连续型随机变量 的密度函数是 ，则X)(xf)(baPbafd)(5统计量就是 不含未知参数 的样本函数三、计算题（每小题 10 分，共 60 分）1设矩阵 ，求10A1)(A解：由矩阵乘法和转置运算得 21301利用初等行变换得110021021即 210)(1A2在线性方程组 153321xx中 取何值时，此方程组有解有解的情况下写出方程组的一般解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 2103153202012013由此可知当 时方程组无解，当 时方程组有解此时方程组的一般解为1321x3用配方法将二次型 2323121 64),( xxxf 化为标准型，并求出所作的满秩变换解：23231212321),(xf 323 7)96()44 xxx 2321(令3231 ,yyxy 即得2127),(xf 由式解出 ，即得31,32315yx或写成32132105yx4一袋中有 9 个球，其中 6 个黑球 3 个白球今从中依次无放回地抽取两个，求第 2 次抽取出的是白球的概率.解：设如下事件： “第 次抽取出的是白球” （ ）iA2,1i显然有 ，由全概公式得93)(1P)()()1211212 APAP3835设 ，试求 ；)4,(NX)95(X （已知)7(P,.0）979.02解： )250()225()5( P473.0973.)0(2 )25XP)1(1(XP1587.043.1)(6某钢厂生产了一批轴承，轴承的标准直径 20mm，今对这批轴承进行检验，随机取出 16 个测得直径的平均值为 19.8mm，样本标准差 ，已知管材直径服从正态分布，问这批轴承的质量3.0s是否合格？（检验显著性水平 ， ）3.2)(05.t解：零假设 由于未知 ，故选取样本函数2:H已知 ，经计算得8.19，075.436s.2.ns由已知条件 ，13)5(0.t )15(.670.tsx故拒绝零假设，即不认为这批轴承的质量是合格的四、证明题（本题 4 分）设 是可逆矩阵 的特征值，且 ，试证： 是矩阵A的特征值1证明：由已知条件知有非零向量 ，使得xx上式两端左乘 得1即xAIA111 整理得x由定义可知 是矩阵 的特征值证毕 11工程数学（本）模拟试题一、单项选择题（每小题 3 分，共 21 分）1设 A 是 矩阵， 是 矩阵，且 有意义，nmBtsBCA则 是( B )矩阵CA B C Dsmt2若 X1、X 2 是线性方程组 AX=B 的解，而 是方程组21、AX = O 的解，则（ A ）是 AX=B 的解A B C33D 21 213设矩阵 ，则 A 的对应于特征值0的一个特征向量 =( C ) A B C D 1010014. 下列事件运算关系正确的是（ A ） A B C BD 15若随机变量 ，则随机变量),0(NX（ D ） 23YA B C ),(34)3,4(2ND6设 是来自正态总体 的样本，则（ 321,x),(2C ）是 的无偏估计A B 3215321xC D5xx3217对给定的正态总体 的一个样本),(2N， 未知，求 的置信区间，选用的样本函数),(21nx 2服从（ B ） A 分布 Bt 分布 C指数分布 D正态分布二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1设三阶矩阵 的行列式 ，则 = 2 A211A2若向量组：， ， ，能构成 R3 一个基，130220k则数 k 3设 互不相容，且 ，则 0 4若随机变量 X ，则 2,0U)(XD315设 是未知参数 的一个估计，且满足 ，则 E称为 的 无偏 估计三、 （每小题 10 分，共 60 分）1已知矩阵方程 ，其中 ，BAX301，求 3502B解：因为 ，且BXAI)(10210201)(I1012101即 102)(1AI所以 342150102)(1BIX2设向量组 ，),4(1， ，),684(， ,3，求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无3，关组解：因为（ ）=1234124156381072002134所以，r( ) = 3 421,它的一个极大线性无关组是 （或431,） 432,3用配方法将二次型 32312123211 45)( xxxxf 化为标准型，并求出所作的满秩变换解： 3231212321321,f3232321)( xxx2)(令 33321 , xyxyxy 即得 2211)(f 由（*）式解出 ，即得321,x3231y或写成 3213210x4罐中有 12 颗围棋子，其中 8 颗白子，4 颗黑子若从中任取 3 颗，求：（1）取到 3 颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（2）取到 3 颗棋子颜色相同的概率解：设 =“取到 3 颗棋子中至少有一颗黑子 ”， =“取到的都A2A是白子” ， =“取到的都是黑子” ，B = “取到 3 颗棋子颜色相同” ，则（1） )(1)()(21PAP 745.0.3128C（2） )()() 32AB7.08.5.05.031245设随机变量 X N（3，4） 求：（1）P（11)，则下列命题正确的是( C ) 22. BBAB=0，且 A0，则 B=0D若 AB=AC，且 A0，则 B=C2向量组 的秩是( B )73,201,A1 B3C2 D43若线性方程组 AX=0 只有零解，则线性方程组 AX=b( D )A有惟一解 B无解 C有无穷多解 D解的情况不能断定4袋中有 3 个红球，2 个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是( D ) 156.0.259.5设 f(x)和 F(x)分别是随机变量 X 的分布密度函数和分布函数，则对任意 ab，有 B)(.bFaAdxfBba)(.dxCbuD二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)1设 A 是 2 阶矩阵，且 12设 A 为押阶方阵，若存在数 A 和非零”维向量 x，使得( Ax= )，则称 x 为 A 相应于特征值 A 的特征向量3若 则 P(AB)= ( O3 )，4设随机变量 X，若 D(X)=3，则 D(一 X+3)= ( 3 )5若参数 的两个无偏估计量 和 满足 ，12(21D则称 比 更( 有效 )2l三、计算题(每小题】6 分，共 64 分)1设矩阵，求 A-1B50,321BA1解：利用初等行变换得即由矩阵乘法得2求线性方程组的全部解2解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形此时齐次方程组化为令 z4=1，得齐次方程组的一个基础解系令 z4=o，得非齐次方程组的一个特解由此得原方程组的全部解为(其中志为任意常数)3设 ，试求(1) (已知3解：(1)(2) )231()28325()85( XPXpXP= （2）-(1)=0.9772-0.8413=0.13594据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度XN(325，121)，今从这批砖中随机地抽取了 9 块，测得抗断强度(单位：kgcm 2)的平均值为 31.12，问这批砖的抗断强度是否合格( )96.1,0.75.u4解：零假设 由于已知 ，故选取3:oH21.样本函数 ),(/NnxU已知； =31.12，经计算得73.05213/,37.019nx由已知条件 965.u75.0/unx故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格四、证明题(本题 6 分)设 A，B 为随机事件，试证：P(A)=P(A-B)+P(AB)证明：由事件的关系可知 ABABU)(而(A-B) AB=，故由概率的性质可知P(A)=P(AB)+P(AB)证毕 工程数学(本) 试题一、单项选择题【每小题 3 分。本题共 15 分)1设 A，B 为咒阶矩阵则下列等式成立的是( D )的秩是( B )A2 B3 C4 D53线性方程组解的情况是( D )A只有零解B有惟一非零解C无解D有无穷多解4下列事件运算关系正确的是( A )5设是来自正态总体的样本，其中是未知参数，则( B )是统计量二、填空题(每小题 3 分。共 15 分 )1设 A，B 是 3 阶矩阵；其中则 12 2设 A 为”阶方阵，若存在数 A 和非零咒维向量 z，使得则称 2 为 A 相应于特征值 的 特征向量3若则0.34设随机变量 X，若则25设是来自正态总体的一个样本，则三、计算题【每小题 16 分，共 64 分)1已知其中求 X 解：利用初等行变换得即由矩阵乘法和转置运算得2当 A 取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的一般解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当 A3时，方程组无解当 A 一 3 时，方程组有解方程组