_导轨平行度误差对工作台运动误差影响的建模与分析

2015 年第 34 卷11 月第 11 期机械科学与技术Mechanical Science and Technology for Aerospace EngineeringNovemberVol342015No11DOI: 1013433/jcnki1003-872820151112收稿 日 期 : 2013-12-04基金项目 : 国家高技术研究发展计划 ( 863 计划 ) 项目 ( 2012AA040701)及国家自然科学基金项目 ( 51205286) 资助作者简介 : 何改云 ( 1965) ， 教授 ， 博士生导师 ， 研究方向为加工质量在机监测与控制 ， CAD/CAM/CAI 集成技术 ， hegaiyuntjueducn导轨平行度误差对工作台运动误差影响的建模与分析何改云，王凯，郭龙真，丁伯慧( 天津大学 机构理论与装备设计教育部重点实验室 ， 天 津 300072)摘要 : 机床导轨是机床各运动部件相互运动的基准，导轨误差改变了机床各部件的相对位置，破坏了各部件相对运动的准确性，造成了工作台运动误差，最终影响被加工零件的加工精度。研究了直线滚动导轨平行度误差对机床工作台运动误差的影响，根据赫兹接触理论分析了滚珠受力与接触变形的关系，基于齐次坐标变换和最小余能原理定量分析了工作台的运动误差。最后通过算法举例、仿真及计算结果的对比，表明该算法能准确计算出工作台的运动误差。关键词 : 导轨误差;平行度误差;运动误差;算法中图分类号 : TH161 文献标识码 : A 文章编号 : 1003-8728( 2015) 11-1705-05Influencing Modeling and Analysis of GuideParallelism Error on Table Motion ErrorHe Gaiyun， Wang Kai， Guo Longzhen， Ding Baihui( Key Lab for Mechanism Theory and Equipment Design， Ministry of Education， Tianjin University， Tianjin 300072， China )Abstract: Machine tool guide is the relative movement datum of each moving parts Guide error changes the relativepositions of the moving parts， resulting in a relative movement error It will cause the table motion error and finallyaffects the machining accuracy The effect of the linear rolling guide parallelism error on the table motion error isstudied According to the Hertz contact theory， we analyze the relationship between the ball bearing and the contactdeformation Then， the table motion error is obtained with the homogeneous coordinate transformation method andthe minimum complementary energy principle Comparing the calculation with simulation results， the algorithm canaccurately calculate the table motion errorKey words: ball bearings， calculations， errors， installation， machining， MATLAB， matrix algebra; algorithms，guide error， motion error， parallelism error机 床 的 导轨面是机床装配的基准 ， 它对整台机床的性能起着举足轻重的作用 1。直线 滚 动导轨与传统的滑动导轨相比 ， 具有定位精度高 、传动速度高 、摩擦和磨损小等优点 ， 被广泛用于高精度数控加工中心的定位系统 。直线导轨在制造 、安装 、调试过程中不可避免地产生了误差 ， 使工作台的运动偏离了理想运动轨迹 ， 造成了工件的加工误差 。Shaw 等建立了直线滚动导轨接触的有限元模型 ， 该模型可以预测滑块与导轨间的接触刚度 ， 然后根据赫兹接触理论得到了直线滚动导轨与滚珠之间的接触角度和法向变形 2-4。Ohta 等建立了直线滚动导轨副垂直刚度计算半解析模 型 ， 用有限元法得到了 滚道曲率中心的变形量 ， 但该方法计算量较大 5。陈汀等研究了滚珠直线导轨副垂 直 刚度模型 ， 该模型考虑了滑块裙部变形 ， 能准确计算滚珠直线导轨副的垂直刚度 6。Tao 等基 于 Palmgren 公式和刚体动力学建立了滚珠与滚道间的接触刚度计算模型 ， 分析了滚珠与滚道间的接触力与滚珠变形的关系 7。Horng研究了单个滚珠与滚道间的接触 刚 度 ， 并用叠加法得到了滚珠与滚道之间的接触压力 8。Khim 等建 立 了滚动直线导轨副接触刚度模型 ， 并提出了改善直线运机械科学与技术 第 34 卷动工 作 台运动精度的修正加工算法 9。Fan 提出 了一 个数学模型 ， 通过求解滑块与导轨间的接触力来估算导轨的磨损 ， 进而预测导轨长时间工作后 ， 由磨损导致的工作台几何误差 10。Al-Bender 等研 究 了滚动直线导轨副接触面预滑区内摩擦力与法向载荷的相互作用关系 ， 建立了接触面预滑区内的切向力计算模型 ， 通过数值方法求出了牵引力 11-13。王盘 铭 建立了简单有效的有限元模型 ， 研究了滚动直线导轨副的静刚度 14。机床导轨误差是产生工件形状误差和位置误差的一项重要因素 ， 上述研究均为对导轨接触变形的研 究 ， 并 没 有进一步研究导轨误差对工作台运动误差的影响 。通过建立数学模型 ， 以双导轨四滑块结构为例 ， 给出了导轨平行度误差引起工作台运动误差的计算方法 。1 滚珠与滚道的接触变形图 1 所示为直线滚动导轨副接触模型示意图 和滚 珠 、滚道接触模型示意图 。图 1 直线滚动导轨副接触模型示意图其中 X 轴 、Y 轴分 别沿水平方向和竖直方向 ， Z轴正方向根据右手定则确定 。g= h= fDa式中 : g为导轨滚道半径 ; h为滑块滚道半径 ; Da为滚 珠 的理论直径 ; f 为适应系数 ， 取值范围是0. 5150. 525， 即滚道的直径大于滚珠的直径 ， 取f=0. 520。上述接触问题实质为球面与内圆柱面的接触问题 。根据赫兹接触理论 15， 接触力与接触变形之间的 关 系 为P = kh32( 1)式中 : P 为 接 触力 ; 为接触弹性变形 ; kh为赫 兹 常数 ， kh=43qk( 1+2)槡; i=1 iEi( i = 1， 2) ，Ei为材料的杨氏模量 ， i为泊 松 比 ， qk的取 值 参见文献 16， 为接 触 区域的 4 个主曲率之和 ， 对于滑块 、滚珠接触点处有 :=2Da+2Da1h+ 0 =4f 1fDa， 对于 导 轨 、滚珠接触点处有 :=2Da+2Da1g+ 0 =4f 1fDa。2 滑块位姿误差与接触变形关系模型图 2 滚动直线导轨副变形前的接触示意图当导 轨 存在平行度误差时 ， 滑块相对于理论位置存在 5 个位姿误差 ， 分别为沿 X 轴的位移误差 x， 沿 Y 轴的位 移 误差 y， 绕 X 轴的 角 度 误差 x， 绕 Y 轴的角 度 误差 y， 以及 绕Z 轴 的 角 度 误 差 z。图 2 为 滚 动 直线导轨副变形前的接触示意图 。图 2 中 : Og为导轨滚道的曲率中心 ， Oh为变 形 前滑块滚道的曲率中心 ， 为接触角 。变形前 ， 第 i 个滑块第 j 滚道中滚珠的曲率中心坐标记为 ( xji， yji， zji) ， 则导轨滚道曲率中心与滑块滚道曲率中心的距离为| Og Oh| = 2fDa Da= ( 2f 1) Da( 2)该距 离 在 X 方向上的分量 Lx0=( 2f1) Dacos， 在Y 方向 上 的分量 Ly0=( 2f1) Dasin。变形 后 ， 假 设第 i 个滑块的位姿误差qis=1 ziyixizi1 xiyiyixi1 00 0 0 1， 则 第 i 个 滑 块 j 滚道的滑块滚道曲率中心位移 ji =qis xji， yji， zji， 1T，即 : jxi=xi+yizjiziyji， jyi=yixizji+zixji。如图 3 所 示 ， 假 设导轨 2 相对其理论位置有安装误差 qg=1 x 1 y 1 00 0 0 1， 则 i 滑块 j滚 道 中 k 滚珠位置的滑块滚道曲率中心坐标为ixjk，iyjk，izjk， 1T=qgqisixjk，iyjk，izjk， 1T=1 i i ixi 1i iyi i 1 00 0 0 16071第 11 期 何改 云 等 : 导轨平行度误差对工作台运动误差影响的建模与分析1 iziyixiz1 ixiyiyix1 00 0 0 1ixjkiyjkizjk1=ixjk+ix +ix (i+iz)iyjk+ (i+iy)izjkiyjk+iy +iy+ (i+iz)ixjk (i+ix)izjkizjk (i+iy)ixjk+ (i+ix)iyjk1( 3)图 3 导轨位姿偏差示意图假设 导 轨 1 没有安装误差 ， 则 1 号滑块的位姿为1xjk1yjk1zjk1=1 1z1y1x1z1 1x1y1y1x1 00 0 0 11xjk1yjk1zjk1=1xjk+1x+1y1zjk1z1yjk1yjk+1y1x1zjk+1z1xjk1zjk+1x1yjk1y1xjk1( 4)由于 导 轨 2 相对其理论位置有安装误差 ， 因此2 号滑块的位姿为2xjk2yjk2zjk1=1 2 2 2x2 12 2y2 2 1 00 0 0 11 2z2y2x2z1 2x2y2y2x1 00 0 0 12xjk2yjk2zjk1=2xjk+2x +2x (2+2z)2yjk+ (2+2y)2zjk2yjk+2y +2y+ (2+2z)2xjk (2+2x)2zjk2zjk (2+2y)2xjk+ (2+2x)2yjk1( 5)4 个滑块发生偏移之后应保持距离不变 、姿态一 致 ， 即满足如下关系(2xjk+ L 1xjk)2+ (2yjk1yjk)2= L2( 6)(3xjk+ L 4xjk)2+ (3yjk4yjk)2= L2( 7)1x= (2+2x) = ( 3+3x) =4x( 8)1y= (2+2y) = ( 3+3y) =4y( 9)1z= (2+2z) = ( 3+3z) =4z( 10)假设 导 轨滚道还存在直线度误差 ， 即导轨滚道中心坐标沿 Z 方向变化 ， 该误差可表示为ijXog= f( z) ，ijYog= g( z)图 4 所示为滚动直线导轨副变形后的接触示 意图 。导轨滚道曲率中心与滑块滚道曲率中心之间的距 离在 X 方向上的分量Lxjk= Lx0ixjk+ijxogY 方向 上 的分量Lyjk= Ly0iyjk+ijyog此时 ， 导 轨 滚道曲率中心与滑块滚道曲率中心之间的距离 |OgOh| =( L2xjk+L2yjk)12。图 4 滚动直线导轨副变形后的接触示意图变形 后 与变形前 ， 导轨滚道曲率中心与滑块滚道曲率中心之间的距离的变化量 |OgOh|OgOh| =( L2xjk+L2yjk)12( 2f1) Da， 该变形量即为滚动直线导轨副 受力之后发生的变形 ， 因此 ，ijk= | OgOh| |OgOh|一般 情 况下 ， 滚动直线导轨副需要预紧 ， 滚珠直径比理论值大 ( 0. 01Da) ， 因此 滚 动直线导轨副发生的实际变形量为ijk=| Og Oh| | Og Oh| + ( 11)由式 ( 1) 得滚动直线导轨副的接 触 力iPjk=khi32jk， 变形后接触角变 为ijk， 将接触力分解到 X， Y方 向 上 有iFxjk=iPjkcosijk( 12)iFyjk=iPjksinijk( 13)此时 ， i 滑块中所有滚珠的接触力与合力矩为iFx=4j = 1nk = 1iFxjk( 14)iFy=4j = 1nk = 1iFyjk( 15)7071机械科学与技术 第 34 卷iMx=4j = 1nk = 1iFyjkiZjk( 16)iMy=4j = 1nk = 1iFxjkiZjk( 17)iMz=4j = 1nk = 1iFxjkiYjk+4j = 1nk = 1iFyjkiXjk( 18)滚动直线导轨副所受外力为工件重力和工作台的重 力 ， 四 滑块结构所受接触力与滚动直线导轨副所受的外力平衡 ， 得平衡方程为Wx=4i = 1iFx= 0 ( 19)Wy=4i = 1iFy= Gpart+ Gtatble( 20)Mx=4i = 1iMx= 0 ( 21)My=4i = 1iMy= 0 ( 22)Mz=4i = 1iMz= 0 ( 23)联立 式 ( 1) ( 23) ， 此时方程个数少于未知数的个数 ， 无法得到唯一解 ， 需要用最小余能原理 17求得 最 终结果W =0Pd =0kh32d =25kh52( 24)因此目标函数可表示为minW =254i = 14j = 1nk = 1khi52jk( 25)约 束 条 件为 : 式 ( 6) ( 23) 。根据计算得到的滑块的位姿偏差 ， 可确定工作台的运动误差 。3 算法举例与分析图 5 滑块 沿 X 方 向偏移量本例中假设导轨长度为 2 000 mm， 两导轨间距 600 mm， 每个滑块有 4 条滚道 ， 每条滚道有 10 个滚珠 ， 滚珠直径均为 20 mm， 导轨横截面的长度为 80 mm， 宽度为60 mm， 导轨和滑块的材料均为 HT250， 弹性模量为 1.551011Pa， 泊松 比 为0.27。假设导轨 1 在 Z 轴原点处无平行度误差 ， 导轨 2相对于导轨 1 的平行度误差 = 0.000 4 rad、=0.000 5 rad、=0.000 6 rad、x=y=0， 工作台与工件的重力之和为 5 000 N。根据上述计算方法 ， 应用Matlab 在 Pentium 4 CPU 3.00 GHZ PC 上进行编程 ， 并用优化工具箱计算可得到各滑块的偏移量 。各滑块沿 Z 轴运动过程中沿 X、Y 轴方向的偏移量分别如图 5、图 6 所示 ， 各滑块沿 Z 轴运动过程中绕X、Y、Z 轴的偏转角度如图 7 所示 。图 6 滑 块 沿 Y 方 向偏移量图 7 滑块 绕 X、Y、Z 轴 的偏转角度由以上结果可以看出 ， 当 导轨存在平行度误 差 时 ， 工作台沿 Z 轴移动过程中出现了运动误差 。4 个滑块沿 X 轴方向偏移量大小近似相等 ， 且均偏向导轨内侧 。沿 Y 轴方向的偏移量中 ， 滑块 3 的偏移量最大 ， 滑块 1 的偏移量最小 ， 并且滑块沿 Y 轴方向偏移量小于沿 X 轴方向偏移量 ， 原因为滚动导轨副在 Y 方向受到工作台和工件的重力作用 ， 降低了工作台沿 Y 方向的运动误差 。由于各滑块的位姿保持一致 ， 因此 ， 每个滑块的偏转角相等 ， 并且绕 X 轴 、Y 轴和 Z 轴的偏转角近似为相应导轨角度误差的一半 。利用有限元软件对本例进行仿真 ， 图 8 所示为导轨 、滑块的变形云图 。图 8 直线滚动导轨副变形云图最后 ， 将 滑 块 1 沿 Z 轴运动过程中沿 X 轴方向和 Y 轴方向偏移量的计算结果和仿真结果列于表 1。本例中 ， 导轨 1 无平行度误差 ， 因此滑块 1 沿导轨运动过程中的位姿偏差即为工作台的运动误差 。8071第 11 期 何改云 等 : 导轨平行度误差对工作台运动误差影响的建模与分析表 1 滑块 1 沿 Z 轴运动过程中的偏移量结果 0 300 mm 600 mm 900 mm 1 200 mm 1 500 mmX/mY/m计算结 果仿 真结果误差 /%计算结果仿真结果误差 /%1. 49991. 802720. 20. 11120. 145731. 04. 49996. 062334. 71. 55461. 920823. 67. 49999. 056920. 83. 00213. 818427. 210. 500012. 203616. 24. 45365. 461722. 613. 500515. 071211. 65. 91157. 148320. 916. 500818. 709113. 47. 37288. 571416. 3由表 1 可看 出 : 1) 滑 块偏移量小 ， 使得较小的误差会引起较大的相对误差 ; 2) 有限元分析建模过程中忽略了模型细节方面的次要因素 ， 导致计算结果与仿真结果出现一定的误差 。但是 ， 两种计算结果的相对误差在合理范围之内 ，因此本文的计算方法是有效的 ， 可方便 、准确地计算出工作台的运动误差 。4 结论根据文中工作台运动误差的计算方法 ， 可以 进一 步研究以下内容 : 1) 根据工作台运动误差预测工件的加工精度 ， 并判断工件的加工误差是否满足设计要求 ; 2) 根据工作台的运动误差调整刀具位姿 ，以提高工件的加工精度 。 参考文献 1 智体桂 机床导轨感应加热淬火 的 质量控制 J 机械科学与技术 ， 1995， ( 1) : 42-44Zhi T G Quality control of induction hardening machinetool guide J Mechanical Science and Technology forAerospace Engineering， 1995，( 1) : 42-44 ( in Chinese) 2 Shaw D， Su W L Study of stiffness of a linear guidewayby FEA and experiment J Structural Longevity，2011， 5( 3) : 129-138 3 Shaw D， Su W L Theoretical study of contact angles ofa linear guideway J Structural Longevity， 2011， 5( 3) : 139-145 4 Shaw D， Su W L Stiffness analysis of linear guidewayswithout preload J Journal of Mechanics， 2013， 29( 2) : 1-6 5 Ohta H， Tanaka K Vertical stiffnesses of preloaded linearguideway type ball bearings incorporating the flexibility ofthe carriage and rail J Journal of Tribology， 2010，132( 1) 6 陈 汀 ， 黄其柏 一种计及滑块裙部 变形的滚珠直线导轨副垂直刚度模型 J 中国机械工程 ， 2011， 22( 13) :1546-1550Chen T， Huang Q B Vertical stiffness model of linearmotion guide considering flexibility of carriage J China Mechanical Engineering， 2011， 22 ( 13) : 1546-1550 ( in Chinese) 7 Tao W J， Zhong Y， Feng H T， et al Model for wearprediction of roller linear guides J Wear， 2013， 305( 1-2) : 260-266 8 Horng T L The study of contact pressure analyses andprediction of dynamic fatigue life for linear guidewayssystem J Modern Mechanical Engineering， 2013， 3:69-76 9 Khim G， Park C H， Shamoto E， et al Prediction andcompensation of motion accuracy in a linear motionbearing table J Precision Engineering， 2011， 35( 3) :393-399 10 Fan K C， Chen H M， Kuo T H Prediction of machiningaccuracy degradation of machine tools J PrecisionEngineering， 2012， 36( 2) : 288-298 11 Al-Bender F， De Moerlooze K On